- Équation aux q-différences
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En mathématiques, les équations aux q-différences forment une famille d'équations fonctionnelles dont l'étude est apparentée à celle des équations différentielles.
Dans une équation aux q-différences, le paramètre q est un nombre complexe dont le module est en général supposé différent de 1 (certains auteurs exigeant que ce module soit strictement supérieur à 1, d'autre qu'il soit strictement inférieur à 1). Sur un espace de fonctions de variable complexe, l'opérateur aux q-différences est défini par :
σq(f)(z) = f(qz). Il joue un rôle analogue à celui de l'opérateur de dérivation dans les équations différentielles. Ainsi, une fonction satisfaisant l'équation :
σq(f) = f, qu'on peut récrire sous la forme
δq(f) = 0, en posant
, jouera le rôle d'une fonction constante : les fonctions vérifiant cette équation, dans le corps des fonctions méromorphes sur 
, s'identifient au corps des fonctions méromorphes sur la courbe elliptique 
, donc à un corps de fonctions elliptiques. Une équation (ou système) sera dit linéaire si elle est de la forme :σq(f)(z) = A(z)f(z), où f est ici un vecteur de fonctions, et A une matrice.
Comme l'opérateur aux q-différences n'a que deux points fixes sur la sphère de Riemann (0 et
), l'étude locale des solutions ne se fait qu'au voisinage de ces deux points.L'étude des équations aux q-différences se fait suivant plusieurs axes, similaires à certains axes pour l'étude des équations différentielles :
- l'étude des équations linéaires : on cherche à ramener une équation linéaire σq(f)(z) = A(z)f(z) à une équation à coefficients constants σq(f)(z) = B.f(z), avec B une matrice inversible à coefficients complexes. Ceci est possible via des transformations de jauge, et sous des conditions techniques sur les coefficients de l'équation initiale. En décomposant la matrice B par l'algèbre linéaire, on ramène alors la résolution d'un tel système à la résolution des équations des caractères, pour c complexe :
σq(f) = c.f, dont la solution joue un rôle analogue à la fonction caractère
dans la théorie différentielle ; et une équation du logarithme :σq(f) = f + 1. Ces équations sont résolues à l'aide la fonction theta de Jacobi.
Bibliographie
- L Di Vizio, J.P. Ramis, J. Sauloy, C. Zhang, Equations aux q-différences, paru dans La Gazette des mathématiciens, no 96, 2003.
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