Équation aux q-différences

Équation aux q-différences

En mathématiques, les équations aux q-différences forment une famille d'équations fonctionnelles dont l'étude est apparentée à celle des équations différentielles.

Dans une équation aux q-différences, le paramètre q est un nombre complexe dont le module est en général supposé différent de 1 (certains auteurs exigeant que ce module soit strictement supérieur à 1, d'autre qu'il soit strictement inférieur à 1). Sur un espace de fonctions de variable complexe, l'opérateur aux q-différences est défini par :

σq(f)(z) = f(qz).

Il joue un rôle analogue à celui de l'opérateur de dérivation dans les équations différentielles. Ainsi, une fonction satisfaisant l'équation :

σq(f) = f,

qu'on peut récrire sous la forme

δq(f) = 0,

en posant \delta_q(f)=\frac{\sigma_q(f)-f}{q-1}, jouera le rôle d'une fonction constante : les fonctions vérifiant cette équation, dans le corps des fonctions méromorphes sur \mathbf{C}^*, s'identifient au corps des fonctions méromorphes sur la courbe elliptique \mathbf{C}^*/q^{\mathbf{Z}}, donc à un corps de fonctions elliptiques. Une équation (ou système) sera dit linéaire si elle est de la forme :

σq(f)(z) = A(z)f(z),

f est ici un vecteur de fonctions, et A une matrice.

Comme l'opérateur aux q-différences n'a que deux points fixes sur la sphère de Riemann (0 et \infty), l'étude locale des solutions ne se fait qu'au voisinage de ces deux points.

L'étude des équations aux q-différences se fait suivant plusieurs axes, similaires à certains axes pour l'étude des équations différentielles :

  • l'étude des équations linéaires : on cherche à ramener une équation linéaire σq(f)(z) = A(z)f(z) à une équation à coefficients constants σq(f)(z) = B.f(z), avec B une matrice inversible à coefficients complexes. Ceci est possible via des transformations de jauge, et sous des conditions techniques sur les coefficients de l'équation initiale. En décomposant la matrice B par l'algèbre linéaire, on ramène alors la résolution d'un tel système à la résolution des équations des caractères, pour c complexe :
σq(f) = c.f,

dont la solution joue un rôle analogue à la fonction caractère x\mapsto x^c dans la théorie différentielle ; et une équation du logarithme :

σq(f) = f + 1.

Ces équations sont résolues à l'aide la fonction theta de Jacobi.

Bibliographie


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