Operateur pseudo-differentiel

Operateur pseudo-differentiel

Opérateur pseudo-différentiel

En analyse mathématique, un opérateur pseudo-différentiel est une extension du concept familier d'opérateur différentiel, permettant notamment l'inclusion d'ordres de dérivation non entiers. Ces opérateurs pseudo-différentiels sont abondamment utilisés dans la théorie des équations aux dérivées partielles et en théorie quantique des champs.

Sommaire

Rappels et notations

On reprend ci-dessous les notations introduites dans l'article opérateur différentiel.

Opérateur différentiel

Rappelons qu'un opérateur différentiel linéaire d'ordre m s'écrit :

\mathfrak{D} \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha}(x) \ D^{\alpha}

où les aα(x), appelées coefficients de l'opérateur \mathfrak{D}, sont des fonctions des n variables d'espace xk,k = 1,...,n.

Introduction de la transformée de Fourier

Définition

On définit ici la transformée de Fourier de la fonction f(x) de n variables par :

\hat{f}(\xi) \ = \ \int_\R \mathrm dx \ e^{- \, i \, \xi \, x} \ f(x)

La formule de transformation inverse s'écrit alors :

f(x) \ = \ \int_\R \frac{\mathrm d\xi}{(2\pi)^n} \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ \hat{f}(\xi)

Application aux opérateurs différentiels

Le symbole de l'opérateur différentiel \mathfrak{D} d'ordre m est la fonction σ(x,ξ) des 2n variables (x,ξ) polynomiale en ξ :

\sigma (x, \xi) = \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha}(x) \ \xi^{\alpha}

L'opérateur différentiel \mathfrak{D} linéaire d'ordre m vérifie alors la relation :

(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \int_\R \frac{\mathrm d\xi}{(2\pi)^n} \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ \sigma (x,\xi) \ \hat{f}(\xi)

On constate que cette formule pourrait en fait permettre de définir l'opérateur \mathfrak{D} à partir de son symbole σ(x,ξ). Nous allons mettre cette idée à profit dans le paragraphe suivant.

Introduction : opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants

Opérateur différentiel à coefficients constants

Si les coefficients aα de l'opérateur différentiel \mathfrak{D} d'ordre m sont indépendants des n variables d'espace xk, son symbole est seulement une fonction σ(ξ) des n variables ξ polynomiale en ξ :


\sigma (\xi) = \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha} \ \xi^{\alpha}

de telle sorte que  :

(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \int_\R \frac{\mathrm d\xi}{(2\pi)^n} \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ \sigma (\xi) \ \hat{f}(\xi)

soit encore, en utilisant la transformation de Fourier inverse [1] :

(\widehat{\mathfrak{D} \, f})(\xi) \ = \ \sigma (\xi) \ \hat{f}(\xi)

Définition : opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants

Soit une fonction p(ξ) des n variables ξ. On associe à cette fonction un opérateur pseudo-différentiel PD à coefficients constants, dont l'action sur une fonction f est définie par l'intégrale suivante :

(P_D \,f)(x) \ = \ \int_\R \frac{\mathrm d\xi}{(2\pi)^n} \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ p (\xi) \ \hat{f}(\xi)

Pour que l'intégrale ait un sens, il faut que le symbole p(ξ) présente quelques « bonnes » propriétés :

  • la fonction p(ξ) doit être lisse.
  • la fonction p(ξ) doit avoir une croissance tempérée lorsque | \xi | \to \infty , cette croissance tempérée devant de plus s'améliorer par dérivation. Par analogie avec le cas d'un opérateur différentiel d'ordre m, où cette croissance est polynomiale, on est amené à demander ici qu'il existe un nombre m tel que :
\forall \ \alpha , \quad \left| \ \partial^{\alpha}_{\xi} \ p (\xi) \ \right| \ \le \ C_{\alpha} \ \left( 1 \ + \ | \xi | \ \right)^{m - |\alpha|}

où les Cα sont des constantes, qui peuvent dépendre de α.

Calcul symbolique exact

Soient P1 et P2 deux opérateurs pseudo-différentiels à coefficients constants, définis respectivements par les symboles p1(ξ) et p2(ξ). Alors, l'opérateur P = P1P2 est encore un opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants, dont le symbole est le produit p1(ξ)p2(ξ).

Opérateur pseudo-différentiel : cas général

Définition

Soit une fonction p(x,ξ) des 2n variables (x,ξ). On associe à cette fonction un opérateur pseudo-différentiel PD, dont l'action sur une fonction f est définie par l'intégrale suivante :

(P_D \,f)(x) \ = \ \int_\R \frac{\mathrm d\xi}{(2\pi)^n} \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ p (x, \xi) \ \hat{f}(\xi)

Remarque : on note parfois cet opérateur pseudo-différentiel à partir de son symbole de la façon suivante : PD = p(x,D)

Propriétés requises du symbole

Pour que l'intégrale ait un sens, il faut que le symbole p(x,ξ) présente quelques « bonnes » propriétés, énoncées ci-dessous :

  • la fonction p(x,ξ) doit avoir une croissance tempérée lorsque | \xi | \to \infty , cette croissance tempérée devant de plus s'améliorer par dérivation. Par analogie avec le cas d'un opérateur différentiel d'ordre m, où cette croissance est polynomiale, on est amené à demander ici qu'il existe un nombre m tel que
    \forall \ \alpha , \quad \left| \ \partial^{\alpha}_{\xi} \ p (x,\xi) \ \right| \ \le \ C_{\alpha} \ \left( 1 \ + \ | \xi | \ \right)^{m - |\alpha|}
    où les Cα sont des constantes, qui peuvent dépendre de α.
  • la fonction p(x,ξ) doit avoir une variation lente dans les variables d'espace x. On demande explicitement que
    \forall \ \alpha , \quad \left| \ \partial^{\alpha}_{x} \ p (x,\xi) \ \right| \ \le \ C_{\alpha} \ \left( 1 \ + \ | \xi | \ \right)^{m}

Ces deux conditions peuvent être combinées en une seule, utilisée ci-dessous pour définir plus précisément la classe des symboles d'ordre m.

Classe des symboles d'ordre m

Soit \Omega \subset \R^n un compact, et p(x,ξ) une fonction lisse de \mathcal{C}^{\infty}(\Omega \times \R^n). Soit m un nombre réel quelconque. La classe S^{m}(\Omega \times \R^n) des symboles d'ordre m est définie par :

S^{m}(\Omega \times \R^n) \ = \ \left\{ \ p(x,\xi) \ \Big/ \ \left| \ \partial^{\alpha}_{\xi} \ \partial^{\beta}_{x} \ p (x,\xi) \ \right| \ \le \ C_{\alpha, \beta, \Omega} \ \left( 1 \ + \ | \xi | \ \right)^{m - |\alpha|} \ \right\}

pour tout x \in \Omega, \xi \in \R^n , et pour tous les multi-indices α,β. Les Cα,β,Ω sont des constantes, qui peuvent dépendre de α,β et Ω.

Remarque : lorsque la mention du compact Ω est indifférente, on note simplement : S^{m} \ = \ S^{m}(\Omega \times \R^n)

On note souvent Ψm l'ensemble des opérateurs pseudo-différentiels à symbole dans Sm

Propriété de pseudo-localité

Support singulier d'une distribution

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Calcul symbolique

Soient pj,(j = 1,2) des éléments de S^{m_j}(\R^n\times\R^n) . Alors l'opérateur p_1(x,D)\circ p_2(x,D) est aussi un opérateur pseudo-différentiel, dont le symbole, qui appartient à S^{m_1+m_2} est donné par une somme asymptotique dont le premier terme est p1(x,ξ)p2(x,ξ)

Continuité dans les espaces de Sobolev

On note H^s(\R^n) l'espace de Sobolev standard d'ordre s sur \R^n . Soient s et m deux nombres réels. Un opérateur pseudo-différentiel d'ordre m sur \R^n (i.e un élément de Ψm) est continu de H^s(\R^n) dans H^{s-m}(\R^n).

Propriété de pseudo-localité

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Bibliothèque virtuelle

Bibliographie

  • Serge Alinhac et Patrick Gérard ; Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser, collection Savoirs actuels, EDP Sciences/CNRS éditions (1991), ISBN 2-86883-363-2. Issu d’un cours professé à l’Ecole Normale Supérieure dans le cadre du magistère de mathématiques, ce livre s’adresse aux étudiants de troisième cycle de mathématiques désireux d’acquérir une formation de base en analyse.
  • Jacques Chazarain & Alain Piriou ; Introduction à la théorie des équations aux dérivées partielles linéaires, Gauthier-Villars (1981), ISBN 2-04-012157-9.
  • Lars Hörmander ; The analysis of linear partial differential operators, Springer-Verlag (1983 à 1985). Traité de référence en quatre volumes, par le récipiendaire de la médaille Fields 1962. Le volume III est sous-titré : Pseudo-Differential Operators, et le volume IV : Fourier Integral Operators.
  • Lars Hörmander ; Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag (1963). Le livre qui contient les travaux pour lesquels l'auteur a obtenu la médaille Fields en 1962.
  • Francois Treves, Introduction to Pseudo Differential and Fourier Integral Operators, University Series in Mathematics, Plenum Publ. Co. (1981), ISBN 0306404044.
  • Michael E. Taylor, Pseudodifferential Operators, Princeton Univ. Press (1981), ISBN 0691082820.
  • Michael E. Taylor ; Partial Differential Equations II - Qualitative Studies of Linear Equations, Series: Applied Mathematical Sciences, Vol. 116, Springer-Verlag (2e édition - 1997), ISBN 0-387-94651-9. Cet ouvrage fait suite au volume d'introduction : Partial Differential Equations - Basic Theory, Series: Texts in Applied Mathematics, Vol. 23, Springer-Verlag (2e édition - 1999), ISBN 0-387-94654-3.
  • Michael E. Taylor ; Partial Differential Equations III - Nonlinear Equations, Series: Applied Mathematical Sciences, Vol. 117, Springer-Verlag (2e édition - 1997), ISBN 0-387-94652-7.
  • M. A. Shubin, Pseudodifferential Operators and Spectral Theory, Springer-Verlag (2001), ISBN 354041195X.
  • Yu.V. Egorov & M.A. Shubin ; Elements of the Modern Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag (2e édition -1999), ISBN 3-540-65377-5. Cet ouvrage fait suite au volume d'introduction : Foundations of the Classical Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag (2e édition - 1998), ISBN 3-540-63825-3.

Notes

  1. ↑ Cette formule est fausse lorsque les coefficients de l'opérateur différentiel ne sont pas constants.
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