Equation de la chaleur

Equation de la chaleur

Équation de la chaleur

En mathématiques et en physique théorique, l'équation de la chaleur est une équation aux dérivées partielles parabolique, introduite initialement en 1811 par Fourier pour décrire le phénomène physique de conduction thermique.

Sommaire

Équation de la chaleur

Soit \Omega \subset \mathbb R^3 un domaine à bord \partial \Omega. Soit T(x,t) le champ de température sur ce domaine. En l'absence des sources thermiques[1] dans le domaine, l'équation de la chaleur s'écrit :

\forall \, x \, \in \, \Omega \, , \quad \frac{\partial T (x,t)}{\partial t} \ = \ D \ \Delta T(x,t) + \frac{P}{\rho C}

où Δ est l'opérateur Laplacien, D est le cœfficient de diffusivité thermique et P une éventuelle production volumique de chaleur propre. Pour que le problème soit mathématiquement bien posé, il faut en général spécifier :

  1. une condition initiale : \forall \, x \, \in \, \Omega \, , \quad T (x,0) \ = \ T_0(x)  ;
  2. une condition aux limites sur le bord du domaine, par exemple :

Établissement de l'équation de la chaleur

Il existe plusieurs approches, par exemple le bilan pour un volume de contrôle. On suit ici un raisonnement s'appuyant sur la thermodynamique et la loi de Fourier.

Appliquons le premier principe de la thermodynamique à un volume τ de conducteur contenu à l'intérieur d'une surface Σ entre t et t + dt :

U(t + dt) − U(t) = δW + δQ

on considère ici un système isochore par conséquent δW = 0. De plus,

U(t) = \iiint_\tau \rho c T(t) \mathrm{d}\tau + f(V)

où ρ est la masse volumique du matériau (en kg/m3), c la chaleur spécifique massique du matériau (en J/kg.K) et f(V) est une fonction du volume. Alors

U(t+\mathrm{d}t)-U(t)=\iiint_\tau \rho c (T(t+\mathrm{d}t)-T(t)) \mathrm{d}\tau = \iiint_\tau \rho c \frac{\partial T}{\partial t} \mathrm{d}t \mathrm{d}\tau

On a aussi, par définition de \vec{\jmath}_{Q} (vecteur densité de flux de chaleur) et de la densité volumique de source de chaleur par unité de temps P (en W/m3) :

(note pour le signe : \vec{\jmath}_{Q} est positif quand le flux est vers l'extérieur, donc la variation de chaleur est alors négative dans le volume)

\delta Q = - \left(\oint_{\Sigma} \vec\jmath_{Q}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\right)\mathrm{d}t+\left(\iiint_\tau P\mathrm{d}\tau\right)\mathrm{d}t

Avec le théorème de Green-Ostrogradsky on obtient :

\delta Q = - \left(\iiint_\tau \operatorname{div} \vec\jmath_{Q} \mathrm{d}\tau\right)\mathrm{d}t+\left(\iiint_\tau P\mathrm{d}\tau\right)\mathrm{d}t

donc :

\iiint_\tau \rho c \frac{\partial T}{\partial t} \mathrm{d}t \mathrm{d}\tau = - \iiint_\tau \operatorname{div}\vec\jmath_{Q} \mathrm{d}\tau \mathrm{d}t+\iiint_\tau P\mathrm{d}\tau \mathrm{d}t

or ceci est valable pour tout volume τ, donc :

\operatorname{div} \vec\jmath_{Q} = - \rho c \frac{\partial T}{\partial t} + P

En utilisant la loi de Fourier :

\vec\jmath_{Q} = - \lambda \overrightarrow\operatorname{grad}T

et le fait que :

\operatorname{div}\left(\overrightarrow\operatorname{grad}\right) = \nabla^2 = \Delta (laplacien)

on obtient :

-\lambda\Delta T= - \rho c\frac{\partial T}{\partial t} + P \Rightarrow \frac{\rho c}{\lambda}\frac{\partial T}{\partial t}-\Delta T=\frac{P}{\lambda}

ce qui est bien l'équation de la chaleur.

Enfin, en posant D = \frac{\lambda}{\rho c} (coefficient de diffusion).

\frac{\partial T}{\partial t}=D\Delta T + \frac{P}{\rho c}

Autres phénomènes physiques

Il est intéressant de remarquer que l'équation de la chaleur, introduite initialement pour décrire la conduction thermique, apparaît également dans d'autres branches de la physique théorique. Elle permet par exemple de décrire :

Enfin, il existe un lien avec la mécanique quantique non-relativiste : l'équation de la chaleur apparait en effet comme une équation de Schrödinger en temps imaginaire. Loin d'être une simple curiosité, cette propriété autorise des développements intéressants, car il est souvent plus facile mathématiquement de travailler avec l'équation de la chaleur qu'avec l'équation de Schrödinger.

Généralisations

L'équation de la chaleur s'étend naturellement :

Articles liés

Bibliographie

  • Joseph Fourier ; Théorie analytique de la chaleur, Firmin Didot Père et Fils (Paris-1822). Réédition Jacques Gabay (1988), ISBN 2-87647-046-2.
  • Jean Dhombres & Jean-Bernard Robert ; Fourier, créateur de la physique mathématique, collection « Un savant, une époque », Belin (1998), ISBN 2-7011-1213-3.

Notes

  1. ↑ Par exemple, une source radioactive qui serait placée à l'intérieur du domaine, ... Il est possible d'introduire de telles sources d'énergie locales en ajoutant un terme à l'équation ; cf. l'article conduction thermique.

autre démonstration (ENS)

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
  • Portail de la physique Portail de la physique
Ce document provient de « %C3%89quation de la chaleur ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Equation de la chaleur de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Équation de la chaleur — En mathématiques et en physique théorique, l équation de la chaleur est une équation aux dérivées partielles parabolique, introduite initialement en 1811 par Fourier pour décrire le phénomène physique de conduction thermique. Sommaire 1 Équation… …   Wikipédia en Français

  • Equation aux derivees partielles — Équation aux dérivées partielles En mathématiques, plus précisément en calcul différentiel, une équation aux dérivées partielles ou équation différentielle partielle (EDP) est une équation dont les solutions sont les fonctions inconnues vérifiant …   Wikipédia en Français

  • Équation différentielle partielle — Équation aux dérivées partielles En mathématiques, plus précisément en calcul différentiel, une équation aux dérivées partielles ou équation différentielle partielle (EDP) est une équation dont les solutions sont les fonctions inconnues vérifiant …   Wikipédia en Français

  • Équation aux dérivées partielles — En mathématiques, plus précisément en calcul différentiel, une équation aux dérivées partielles (EDP) est une équation dont les solutions sont les fonctions inconnues vérifiant certaines conditions concernant leurs dérivées partielles. Une EDP a… …   Wikipédia en Français

  • Équation de Korteweg et de Vries — En mathématiques, l équation de Korteweg et de Vries (KdV en abrégé) est un modèle mathématique pour les vagues en faible profondeur. C est un exemple très connu d équation aux dérivées partielles non linéaire dont on connait exactement les… …   Wikipédia en Français

  • Chaleur — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Le terme chaleur peut désigner : un transfert thermique en thermodynamique. Cette dernière notion est également reliée à : l énergie interne… …   Wikipédia en Français

  • Equation — Équation (mathématiques)  Cet article concerne les équations mathématiques dans leur généralité. Pour une introduction au concept, voir Équation (mathématiques élémentaires).   …   Wikipédia en Français

  • Équation (mathématiques) —  Cet article concerne les équations mathématiques dans leur généralité. Pour une introduction au concept, voir Équation (mathématiques élémentaires).   …   Wikipédia en Français

  • Équation symétrique — Équation (mathématiques)  Cet article concerne les équations mathématiques dans leur généralité. Pour une introduction au concept, voir Équation (mathématiques élémentaires).   …   Wikipédia en Français

  • Équation vectorielle — Équation (mathématiques)  Cet article concerne les équations mathématiques dans leur généralité. Pour une introduction au concept, voir Équation (mathématiques élémentaires).   …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”