Théorème du gradient

Théorème du gradient

Le théorème du gradient est un théorème de l'analyse vectorielle qui met en relation l'intégrale de volume du gradient d'un champ scalaire et l'intégrale de surface du même champ.

Le théorème est le suivant :

\iiint_V \vec{\nabla} \! f ~ dV = \iint_S f ~ d\vec S ,

où S est le bord de V et f un champ scalaire.

Démonstration

Soit \vec{u}\, un champ vectoriel uniforme (et non nul).

Considérons l'intégrale suivante :

I =\left ( \iint_S f ~ d\vec S \right ) \cdot \vec{u}

\vec{u}\, étant uniforme, et le produit scalaire étant commutatif et distributif sur l'addition des vecteurs, on peut écrire :

I =\iint_S f \, \vec{u} \cdot d\vec S

Selon le théorème de flux-divergence,

\iint_S f \, \vec{u} \cdot d\vec S = \iiint_V \vec{\nabla} \! \cdot \! (f \, \vec{u}) ~ dV

Or, d'après l'une des formules de Leibniz de l'analyse vectorielle,

\vec{\nabla} \! \cdot \! (f \, \vec{u}) = \vec{\nabla} \! f \cdot \vec{u} + f \, \vec{\nabla} \! \cdot \! \vec u

Et puisque la divergence d'un champ vectoriel uniforme est nulle, on a

\vec{\nabla} \! \cdot \! (f \, \vec{u}) = \vec{\nabla} \! f \cdot \vec{u}

Par conséquent,

I =\iint_S f \, \vec{u} \cdot d\vec S = \iiint_V \vec{\nabla} \! f \cdot \vec{u} \ ~ dV

Encore une fois, \vec{u}\, étant uniforme et le produit scalaire commutatif et distributif sur l'addition des vecteurs, on peut écrire :

I =\left ( \iint_S f ~ d\vec S \right ) \cdot \vec{u} = \left ( \iiint_V \vec{\nabla} \! f ~ dV \right ) \cdot \vec{u}

On en déduit donc que

\iint_S f ~ d\vec S = \iiint_V \vec{\nabla} \! f ~ dV

Voir aussi

v · Analyse vectorielle
Objets d'étude Champ de vecteurs • Champ scalaire • Équation aux dérivées partielles (de Laplace et de Poisson) Champ vectoriel
Opérateurs Nabla • Gradient • Rotationnel • Divergence • Laplacien scalaire • Bilaplacien • Laplacien vectoriel • D'alembertien
Théorèmes de Green • de Stokes • de Helmholtz • de flux-divergence • du gradient • du rotationnel

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème du gradient de Wikipédia en français (auteurs)

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