Théorème du rotationnel

Théorème du rotationnel

En analyse vectorielle, le théorème du rotationnel est un théorème qui met en relation l'intégrale de volume du rotationnel d'un champ vectoriel à l'intégrale de surface du même champ. Le théorème est le suivant :

\iiint_V \vec{\operatorname{rot}} \, \vec v\ \mathrm dV = -\iint_S \vec v \wedge \mathrm d \vec s

où S est la frontière de V, \wedge est le produit vectoriel et \mathrm d \vec s est dirigé vers l'extérieur.


Une autre identité remarquable met en relation l'intégrale de surface du rotationnel d'un champ vectoriel et l'intégrale curviligne (ou circulation) du même champ sur la frontière. Elle découle du théorème de Green qui, pour une surface S (généralement non fermée) de frontière C, implique

\iint_S \vec{\operatorname{rot}} \, \vec v\ \cdot \mathrm d\vec s = \oint_C \vec v \cdot \mathrm d \vec l .

Si S est fermée, C est vide (ou réduit à un point) et le membre de droite est nul.

Il convient de noter que l'orientation de la surface et celle de la courbe frontière sont liées puisque le changement d'une orientation modifie le signe de l'intégrale correspondante. En fait, la relation est satisfaite lorsque ces orientations sont telles que, sur un point frontière, le vecteur tangent à la surface \mathrm d \vec S \wedge \mathrm d \vec l est orienté en direction de la surface.

Cette égalité peut aussi servir de définition du rotationnel[1].

Note

  1. ↑ En choisissant pour S un carré perpendiculaire à l'un des axes et lorsque la taille du côté de ce carré tend vers 0, la limite de la seconde identité donne la définition classique d'une composante du rotationnel.

Voir aussi

v · Analyse vectorielle
Objets d'étude Champ de vecteurs • Champ scalaire • Équation aux dérivées partielles (de Laplace et de Poisson) Champ vectoriel
Opérateurs Nabla • Gradient • Rotationnel • Divergence • Laplacien scalaire • Bilaplacien • Laplacien vectoriel • D'alembertien
Théorèmes de Green • de Stokes • de Helmholtz • de flux-divergence • du gradient • du rotationnel

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème du rotationnel de Wikipédia en français (auteurs)

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