Théorème de Frobénius

Théorème de Frobénius

Théorème de Frobenius

En géométrie différentielle, le théorème de Frobenius est un théorème décrivant la structure de certaines formes différentielles possédant certaines propriétés.

Formulation

Dans sa version moderne, le théorème de Frobenius peut s'exprimer ainsi :

Soient r formes linéaires {\mathbf \sigma}^1, ..., {\mathbf \sigma}^r linéairement indépendantes en un point p d'une variété différentielle, et soient des formes {\mathbf \tau}^A_B, A et B décrivant l'ensemble 1, ..., r, telles que
{\rm d} {\mathbf \sigma}^A = {\mathbf \tau}^A_B \wedge {\mathbf \sigma}^B,
d désignant la dérivée extérieure et \wedge le produit extérieur, alors il existe un voisinage ouvert de p dans lequel il existe des fonctions f^A_B, hB telles que pour tout A :
{\mathbf \sigma}^A = f^A_B {\rm d} h^B.

Conséquence fondamentale

Dans le cas d'une seule forme σ, le théorème de Frobenius stipule que

{\mathbf \sigma} \wedge {\rm d} {\mathbf \sigma} = 0

est équivalent à dire que σ est de la forme

{\mathbf \sigma} = f {\rm d} h,

c'est-à-dire que σ est proportionnelle à un gradient.

En termes de composantes, cette relation s'écrit :

σ[a,bσc] = 0 équivalent à \sigma = f \partial_a h.

Cette dernière relation est abondamment utilisée en relativité générale, où elle permet d'exhiber que certains champs de vecteurs sont parallèles à un gradient, et peuvent définir un feuilletage de la région considérée, correspondant aux hypersurfaces où la fonction dont on prend le gradient (ici notée h) prend une valeur constante.

Généralisation

Une généralisation du théorème de Frobenius peut se faire à l'aide du théorème de Darboux.

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