- Corps topologique
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Anneau topologique
En mathématiques, un anneau topologique est un anneau muni d'une topologie compatible avec les opérations internes, c'est-à-dire telle que l'addition, l'application opposée[1] et la multiplication soient continues.
Un corps topologique est un corps muni d'une topologie qui rend continues l'addition, la multiplication et l'application inverse[2].
Ces structures étendent la notion de groupe topologique.
Sommaire
Exemples
- Tous les corps de nombres usuels (rationnels, réels, complexes, p-adiques) ont une ou plusieurs topologies classiques qui en font des corps topologiques. Il s'agit essentiellement des topologies induites par la distance usuelle ou la distance p-adique.
- L'ensemble des applications d'un ensemble X vers un anneau topologique constitue un anneau topologique pour la topologie de la convergence simple. Lorsque l'ensemble X est lui-même un espace topologique, le sous-anneau des fonctions continues est un anneau topologique pour la topologie compact-ouvert
- Tout sous-anneau d'un anneau topologique est un anneau topologique pour la topologie induite.
- Tout anneau muni de la topologie discrète ou de la topologie grossière constitue un anneau topologique.
Topologie I-adique
Étant donné un anneau commutatif R et un idéal I de R, la topologie I-adique de R est définie par la base de voisinages en chaque point x de R de la forme : x + In, où n décrit tous les entiers naturels.
Cette topologie fait de l'anneau R un anneau topologique, qui est séparé si et seulement si l'intersection des puissances de l'idéal I est réduit à l'élément nul :
- .
Dans ce cas, la topologie est métrisable par une distance ultramétrique définie de la manière suivante :
- pour tous x≠y éléments de R,
- d(x,y) = 1 / 2k
- où k est la plus grande puissance de l'idéal qui contient la différence x − y.
La topologie p-adique sur les entiers relatifs est ainsi construite avec l'idéal I des multiples entiers de p.
Complétion d'un anneau métrisable
Lorsqu'un anneau topologique est métrisable, c'est-à-dire si sa topologie peut être associée à une distance, l'ensemble de ses suites de Cauchy forme lui aussi un anneau. Le quotient de cet anneau de suites par l'idéal des suites convergeant vers 0 constitue le complété de l'anneau de départ.
Notes
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Catégorie : Structure algébrique topologique
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