Homomorphisme

Morphisme

En mathématiques, un morphisme ou homomorphisme est une application entre deux ensembles munis d'une même espèce de structure algébrique, qui respecte cette structure.

Note : à ne pas confondre avec homéomorphisme

Cette notion est un des concepts de base de la théorie des catégories, où on lui donne une définition formelle bien plus large. Ainsi, un morphisme n'est pas forcément une fonction, c'est juste une flèche reliant deux objets qui ne sont pas forcément des ensembles.

Les morphismes ont des applications particulièrement importantes en physique moderne, en particulier la mécanique quantique.

Définitions

Définition générique

Soient $\mathcal{R}$ et $\mathcal{S}$ deux relations binaires sur E et F respectivement et $f: E \longrightarrow F$ une application de E dans F.

$f$ est un morphisme de $(E,\mathcal{R})$ dans $(F,\mathcal{S})$ si et seulement si:

$\forall (x,y) \in E^2,~ x\mathcal{R}y \Rightarrow f(x)\mathcal{S}f(y)$

Cas des groupes

Article détaillé : homomorphisme de groupe.

Si on est dans le cas de deux groupes $(G, *)\,$ et $(G', \star)\,$ , cette définition se précise de la façon suivante : un morphisme $f : (G, *) \longrightarrow (G', \star)\,$ , vérifie :

$\forall (g,h) \in G^2,~ f(g * h) = f(g) \star f(h)\,$

Cas des anneaux

Dans le cas de deux anneaux $\left(A,+,*\right)$ et $\left(A',\dot +, \times\right)$ , un morphisme $f$ vérifie donc:

$\forall (a,b) \in A^2,~ f(a + b) = f(a) \dot + f(b)$
$\forall (a,b) \in A^2,~ f(a * b) = f(a) \times f(b)$

si les anneaux considérés sont de plus unitaires, on parle de morphisme unitaire lorsque

$f\left(1_A\right)=1_{A'}$ .

Un morphisme d'anneaux entre anneaux unitaires n'est pas forcément unitaire, comme le montre l'exemple suivant : si on choisit un ensemble $E$ infini, et une sous-partie $F$ de $E$ finie et que l'on munit les ensembles des parties de ces ensembles de la structure d'anneau où la somme est l'union disjointe et le produit est l'intersection, l'inclusion des parties de $F$ dans les parties de $E$ est un morphisme d'anneau, mais n'est pas un morphisme d'anneau unitaire. En effet, c'est l'ensemble $E$ tout entier qui est élément neutre pour l'intersection dans l'ensemble des parties de $E$ , mais l'élément neutre des parties de $F$ est $F$ . Donc son image par l'inclusion n'est pas l'élément neutre de l'anneau d'arrivée.

De $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ , l'application reste modulo 2 est un morphisme unitaire d'anneaux. L'autre sens n'est pas vrai : il n'existe aucun morphisme d'anneau de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ vers $\mathbb{Z}$ .

Cas des espaces vectoriels

Dans le cas de deux $\mathbb K$ -espaces vectoriels $(E, + ,.)$ et $(F,\dot{+},.)$ , un morphisme vérifie :

$f$ est un morphisme de groupe pour $(E, + )$ et $(F,\dot{+})$
$\forall x\in E ,~ \forall \lambda\in\mathbb{K},~ f(\lambda . x ) = \lambda . f(x)$

Ce qui est équivalent à :

$\forall (x,y)\in E \times E ,~ \forall \lambda \in\mathbb{K},~ f(\lambda . x + y) = \lambda . f(x) \dot{+} f(y)$

On parle alors d'application linéaire.

Cas des algèbres

Dans le cas de deux $\mathbb{K}$ -algèbres $(A, +, \times, .)\,$ et $(B, \dot{+}, \dot{\times}, .)\,$ , un morphisme vérifie :

$f\,$ est une application linéaire de $A\,$ dans $B\,$ ,
$f\,$ est un morphisme d’anneaux ;

ce qui est équivalent à :

$f(1_A)=1_B\,$ ,
$\forall (x,y)\in A^2,~\forall (\lambda,\mu) \in \mathbb{K}^2,~ f(\lambda .x + \mu .y) = \lambda .f(x) \dot{+} \mu .f(y)$ ,
$\forall (x,y)\in A^2,~ f(x\times y) = f(x)\dot{\times} f(y)$ .

Cas des ensembles ordonnés

Un morphisme entre deux ensembles ordonnés est une application croissante (une application qui préserve l'ordre) :

Si ( A, ⊑ ) et ( B, ≼ ) sont des ensembles ordonnés et f est une application de A dans B, f est un morphisme si pour tout x et y dans A tels que x ⊑ y, on a f(x) ≼ f(y).

En théorie des ordres, on dit souvent fonction monotone au lieu de fonction croissante ou décroissante.

Classement

un endomorphisme est un morphisme d'une structure dans elle-même ;
un isomorphisme est un morphisme $f$ entre deux ensembles munis de la même espèce de structure, tel qu'il existe un morphisme $f'$ dans le sens inverse, tels que $f\circ f'$ et $f'\circ f$ sont les identités des structures ;
un automorphisme est un isomorphisme d'une structure dans elle-même, c'est un endomorphisme bijectif ;
un épimorphisme (ou morphisme épique) est un morphisme $f : A\to B$ tel que : pour tout couple $g, h$ de morphismes de type $B\to E$ (et donc aussi pour tout $E$ ), si $g\circ f=h\circ f$ , alors $g = h$ ;
un monomorphisme (ou morphisme monique) est un morphisme $f : A\to B$ tel que : pour tout couple $g, h$ de morphismes de type $E\to A$ (et donc aussi pour tout $E$ ), si $f\circ g=f\circ h$ , alors $g = h$ .

Exemple : l'identité d'un ensemble est toujours un morphisme, quelle que soit la structure considérée. Et c'est un automorphisme…

Ensembles isomorphes

On dit que les ensembles $E$ et $F$ sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de $E$ sur $F$ .

Savoir que deux ensembles sont isomorphes présente un grand intérêt car cela permet de transposer des résultats et propriétés démontrées de l'un à l'autre.

Exemple : le groupe de Klein est isomorphe à $\mathbb Z/_{\displaystyle 2\mathbb Z}\times \mathbb Z/_{\displaystyle 2\mathbb Z}$ .

Voir aussi

Homéomorphisme : isomorphisme d'espace topologique, i.e. application continue et d'inverse continue
Difféomorphisme : isomorphisme de variété différentielle , c'est-à-dire application à différentielle continue et d'inverse à différentielle continue
Cryptomorphisme
Morphisme de graphes

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