Semi-anneau
- Semi-anneau
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En mathématiques, un semi-anneau, ou un demi-anneau, est une structure algébrique 
telle que
- (E, + ,0) constitue un monoïde commutatif;
forme un monoïde;
est distributif par rapport à +;- 0 est absorbant pour le produit, autrement dit: pour tout
.
Un demi-anneau est commutatif quand son produit est commutatif.
Remarque: contrairement à ce qui se passe avec les anneaux, on ne peut démontrer à partir des autres axiomes que 0 est un élément absorbant.
Domaines de prédilection
Les demi-anneaux se retrouvent souvent en :
- recherche opérationnelle : les graphes ont des poids dans un demi-anneau ; le produit est associé à l'accumulation de valeur le long d'un chemin et la somme correspond à la façon de composer plusieurs chemins ;
- théorie des langages et des automates : la concaténation des (ensembles de) chaînes pour en fabriquer d'autres est le produit et l'union des (ensembles de) chaînes est la somme.
Exemples
- Le demi-anneau le plus simple est celui des booléens :
où 
et 
sont OU et ET respectivement.
- Le plus naturel est peut-être celui des entiers positifs avec l'addition et la multiplication:
.
- L'ensemble des entiers naturels étendu à
de façon habituelle (toute somme avec donne ; tout produit avec donne , sauf pour 0 qui reste absorbant) muni de l'opérateur min et de la somme est un demi-anneau: 
est connu sous le nom de demi-anneau tropical ; il est au cœur des algorithmes de calcul de plus court chemin dans un graphe : les poids sont additionnés le long des chemins et devant plusieurs chemins, on prend le coût minimal.
est le demi-anneau sous-jacent au calcul du flux maximum d'un graphe: dans une séquence d'arcs, celui de poids minimal impose son flux et devant plusieurs séquences, on prend le flux maximal.- L'ensemble des parties d'un ensemble E muni de l'union et de l'intersection est un semi-anneau. Les deux lois sont distributives l'une par rapport à l'autre, l'élément neutre de l'union est l'ensemble vide, celui de l'intersection est l'ensemble E. Les deux lois sont commutatives et forment avec E les deux monoïdes requis. C'est une algèbre de Boole et donc un treillis.
- Tout treillis distributif est un semi-anneau.
- Les dioïdes sont des semi-anneaux particuliers.
Bibliographie
- Michel Gondran et Michel Minoux, Graphes, dioïdes et semi-anneaux, Paris, Lavoisier Tec et Doc, 2002, 414 p. (ISBN 978-2-7430-0489-7)
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2010.
Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Semi-anneau de Wikipédia en français (auteurs)
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