Martingale

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Une martingale est une technique donnant l'illusion d'augmenter les chances de gain aux jeux de hasard tout en respectant les règles de jeu. Le principe dépend complètement du type de jeu qui en est la cible et, dans de nombreux cas, les règles visent à empêcher la possibilité d'une martingale. Néanmoins, le terme est accompagné d'une aura de mystère qui voudrait que certains joueurs connaissent des techniques secrètes pour tricher avec le hasard et, par exemple, battre la banque dans les casinos. Pour ce faire, une martingale doit changer l'espérance mathématique qui est telle que, sur le long terme, les chances de gagner sont très inférieures à celles de perdre.

Différentes martingales

De nombreuses martingales ne sont que le rêve de leur auteur, certaines sont en fait inapplicables, quelques-unes permettent effectivement de tricher un peu. Les jeux d'argent sont en général inéquitables : quelle que soit la stratégie adoptée, la probabilité de gain du casino (ou de l'État dans le cas d'une loterie) est plus importante que celle du joueur. Dans ce type de jeu, il n'est pas possible d'inverser les chances, seulement de minimiser la probabilité de ruine du joueur.

La martingale classique

Elle consiste à jouer une chance simple à la roulette (noir ou rouge, pair ou impair, passe ou manque) de façon à gagner, par exemple, une unité dans une série de coups en doublant sa mise si l'on perd, et cela jusqu'à ce que l'on gagne. Exemple : le joueur mise 1 unité sur le rouge, si le rouge sort, il arrête de jouer et il a gagné 1 unité (2 unités de gain moins l'unité de mise), si le noir sort, il double sa mise en pariant 2 unités sur le rouge et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il gagne.

Ayant une chance sur deux de gagner, il peut penser qu'il va finir par gagner ; quand il gagne, il est forcément remboursé de tout ce qu'il a joué, plus une fois sa mise de départ.

Cette martingale semble être sûre en pratique. Sur le plan théorique, pour être sûr de gagner, il faudrait avoir la possibilité de jouer un nombre de fois illimité. Ce qui présente des inconvénients majeurs :

• Cette martingale est limitée par les mises que le joueur peut faire, car il faut doubler la mise à chaque coup tant que l'on perd : 2 fois la mise de départ, puis 4, 8, 16.... s'il perd 10 fois de suite, il doit pouvoir avancer 1 024 fois sa mise initiale pour la 11^e partie. Il faut donc beaucoup d'argent pour gagner peu.

Exemple :

• Mise initiale de 1 euro.
• Mise de 1 euro, soit on gagne 2 euros moins notre mise précédente 2-1=1 euro, soit on perd.
• Mise de 2 euros, soit on gagne 4 euros moins notre mise précédente : 4 -3=1 euro, soit on perd.
• Mise de 4 euros, soit on gagne 8 euros moins notre mise précédente 8-4-2-1=1 euro, soit on perd.
• Mise de 8 euros, soit on gagne 16 euros moins notre mise précédente 16-8-4-2-1=1 euro, soit on perd.
• Mise de 16 euros, soit on gagne 32 euros moins notre mise précédente 32-16-8-4-2-1=1 euro, soit on perd.
• Mise de 32 euros, soit on gagne 64 euros moins notre mise précédente 64-32-16-8-4-2-1=1 euro, soit on perd.
• Mise de 64 euros, soit on gagne 128 euros moins notre mise précédente 128-64-32- 16-8-4-2-1=1 euro, soit on perd.
• Mise de 128 euros, soit on gagne 256 euros moins notre mise précédente 256-128-64-32-16-8-4-2-1=1 euro, soit on perd.

En somme, plus le joueur mise, plus il doit miser beaucoup pour gagner 1 seul euro.

• Les roulettes comportent un « 0 » qui n'est ni rouge ni noir. La probabilité élémentaire Pe de gain à chaque tirage est donc de 18/37 (0,48648) et non 1/2. La probabilité de gagner en disposant d'une somme infinie est de 1.
• De plus, pour paralyser cette stratégie, les casinos proposent des tables de jeu par tranche de mise : de 1 à 100 euros, de 2 à 200, de 5 à 500, etc. Impossible donc d'utiliser cette méthode sur un grand nombre de coups, ce qui augmente le risque de tout perdre.

Exemple : mises de 5 avec limite du casino à 500. On ne peut donc miser, suite à pertes, que 7 fois de suite (jusqu'à 320), cela nécessite une somme de départ de 635 et le nombre de séries victorieuses envisageables dans ce cas est de 17. Si l'on est "prudent" et qu'une série de 7 tirages d'une même couleur vient de tomber, on peut espérer un gain, relativement assuré, en 8 séries victorieuses, soit 40, pour un capital initial de 635, soit 6.3% de gain.

Si la probabilité de perdre diminue, la perte augmente avec le nombre de rangs consécutifs joués et l'espérance des gains reste négative (soit une perte), le risque étant couru sur l'ensemble des sommes investies.

La grande martingale

Elle est semblable à la martingale classique, sauf que le joueur ne se contente pas de doubler sa mise à chaque perte, il ajoute aussi une unité.

Par exemple, le joueur mise une unité :

• S'il gagne, il quitte le jeu avec 2 unités - 1 unité qu'il a jouée = 1 unité
• S'il perd une première fois, il joue 3 unités ; s'il gagne, il emporte 6 unités - 3 (qu'il vient de jouer dans la 2^e partie) - 1 (qu'il a jouée dans la 1^re partie) = 2 unités
• S'il perd une deuxième fois, il joue 7 unités ; s'il gagne, il emporte 14 unités - 7 (qu'il vient de jouer dans la 3^e partie) - 3 (qu'il a jouées dans la 2^e partie) - 1 (qu'il a jouée dans la 1^re partie) = 3 unités
• etc.

Cette martingale est aussi peu sûre que la martingale classique (le joueur a l'impression qu'il ne peut rien perdre, mais c'est vrai seulement s'il a réussi à miser juste, avant de quitter la table de jeu !), en revanche elle permet d'augmenter les gains.

Cette technique présente les mêmes inconvénients que la martingale classique, mais surtout elle est encore plus limitée par les mises que le joueur peut faire : il suffit qu'il perde trois fois, pour devoir jouer 15 fois sa mise au prochain coup (2047 fois pour la 11^e partie).

De plus, les gains peuvent être jugés faibles au regard des sommes misées, ainsi, quelqu'un qui ne gagnerait qu'au dixième essai misera 1023 unités pour obtenir un gain qui ne s'élèvera qu'à 10 unités.

La Piquemouche

C'est une autre variante de la martingale classique. Le joueur recommence à une unité quand il gagne, mais quand il perd, il augmente sa mise d'une unité, il ne la double qu'après trois pertes consécutives. Elle ne nécessite pas d'augmenter dès le début les mises en cas de pertes successives, elle est plus sûre, mais les gains sont faibles (nuls si on ne gagne pas dès la première partie) ou nécessite 2 gains.

Exemple :

• Le joueur mise une unité ; s'il gagne, il quitte le jeu avec 2 unités - 1 unité qu'il a jouée = 1 unité
• S'il perd une première fois, il joue 1 unité ; s'il gagne, il emporte 2 unités - 1 (qu'il a jouée dans la 2^e partie) - 1 (qu'il a jouée dans la 1^re partie) = 0 unité
• S'il perd une deuxième fois, il joue 1 unités ; s'il gagne, il emporte 2 unités - 1 (qu'il a jouées dans la 3^e partie) - 1 (qu'il a jouée dans la 2^e partie) - 1 (qu'il a jouée dans la 1^re partie) = -1 unité
• Il faut donc un deuxième gain pour être gagnant.
• Suite de mise si toujours perdant 1 - 1 - 1 - 2 - 2 - 2 - 4 - 4 - 4 - 8 ...
• etc.

La Whittacker

Le joueur joue une whittacker lorsqu'il mise la somme de ses deux précédentes mises tant qu'il perd, et recommence à une unité quand il gagne.

La pyramide d'Alembert

Le nom est une référence à Jean le Rond d'Alembert, mathématicien du XVIII^e siècle. Le principe consiste à augmenter la mise d'une unité après une perte et à diminuer la mise d'une unité après un gain.

Utilisée lorsqu'on pense qu'un gain diminue la chance de gagner encore, alors qu'une perte augmente la chance de gagner par la suite (illustré par le principe shadok : « plus ça rate, plus on a de chances que ça marche »).

La contre d'Alembert

Cette martingale reprend le principe de celle d'Alembert mais les mises se font dans l'autre sens : il faut donc ici diminuer la mise d'une unité lorsque l'on perd et augmenter la mise d'une unité lorsque l'on gagne.

Inversement à la précédente, elle est utilisée lorsqu'on pense que la chance passée est représentative de la chance future (par exemple face à une rangée de machines à sous).

Le paroli

Cette martingale consiste à doubler la mise à chaque gain (donc remiser ce qu'on a gagné), puis, à partir d'un nombre de gain défini à l'avance, s'arrêter et recommencer avec la mise de départ. On parle de paroli de 1, si on s'arrête après avoir gagné deux fois sa mise, paroli de 2 si on a gagné quatre fois sa mise, paroli de 3 si on s'arrête après avoir gagné huit fois sa mise, etc.

La martingale américaine

Appelée aussi "montante américaine", elle demande de remiser la somme première + dernière perte. Le joueur démarre en augmentant ses mises d'une unité tant qu'il gagne. Dès qu'il perd, il retient la mise qu'il vient de perdre, et remise la somme de la dernière et de la première mise. Quand il gagne, il retient la mise qu'il a gagnée, et raye la première mise de sa liste. Puis il remise la somme de la dernière et de la première mise de sa liste, en ne tenant pas compte de celle qu'il a rayée. Exemple :

• Le joueur mise une unité :
• S'il gagne il mise 2, s'il perd il note 1 et mise 2.
• S'il gagne et qu'il avait gagné il mise 3 (2+1), s'il perd et qu'il avait gagné il note 2 et mise 3 (1ère + dernière perte = 1+2). Dans ce cas précis les résultats sont les mêmes s'il avait perdu au premier tour.
• etc

La martingale hollandaise

Le joueur met en œuvre cette martingale lorsqu'il perd. Il retient toutes les mises qu'il a perdues. Il mise la mise la plus faible parmi celles qu'il a perdues (s'il en a perdues plusieurs), en ajoutant 1. Puis il remise la mise suivante, dans l'ordre croissant. Ainsi à chaque victoire le joueur gagne le montant d'une mise perdue précédemment, plus 1.

Cette martingale est séduisante dans le sens où il semble que si le joueur obtient autant de victoires que d'échec son gain reste positif, égal à 1/2 par coup. En réalité, ceci n'est vrai que si les coups gagnants surviennent après les coups perdants. De plus après plusieurs échecs successifs, tant que le joueur n'a pas été remboursé par une quantité égale de victoires il doit constamment augmenter ses mises pour tenter de récupérer les sommes perdues. Une telle situation va presque sûrement se produire à un moment ou un autre de la partie, ainsi la martingale hollandaise a une tendance très forte à l'emballement. En fait, elle a un comportement proche de la martingale classique avec comme avantage de ne pas être limitée par la mise maximale autorisée.

Martingales et mathématiques

Une martingale est destinée à optimiser la probabilité de gagner mais ne change en rien l'espérance mathématique des gains, qui reste à la défaveur du joueur.

Loi de Dubins et Savage

Mathématiquement, Lester Dubins et Leonard Savage ont démontré en 1956 que la meilleure façon de jouer dans un jeu où les probabilités sont défavorables au joueur consiste à miser toujours ce qui permet d'approcher le plus rapidement le but visé. Intuitivement ce résultat semble évident : si à chaque partie on a plus de chances de perdre que de gagner, autant minimiser le nombre de parties jouées. Ce résultat signifie également, qu'à moins de disposer d'une mise de départ infinie, il n'existe pas de stratégies permettant de renverser les probabilités en votre faveur dans un jeu qui vous est défavorable.

Même dans le cas d'un jeu équitable, le joueur qui a à la fois la possibilité et la volonté de miser le plus se donne plus de chances de ruiner son adversaire et donc de l'empêcher de continuer à jouer : ainsi, au prix d'une perte potentielle plus grande, il se donne aussi plus de chance de gagner. Comme dans toute martingale, cela ne modifie toutefois pas l'espérance des deux joueurs (c'est-à-dire le plus « petit joueur » a moins de chance de gagner mais, aussi paradoxal que ça paraisse, il peut gagner plus !).

Probabilités

Il existe cependant certains jeux de hasard qui ne sont pas systématiquement défavorables au joueur. On peut citer par exemple le cas de William Jaggers qui gagna une forte somme à Monte-Carlo au XIX^e siècle en étudiant systématiquement les fréquences de sortie des numéros à la roulette. Il put ainsi déterminer certains numéros qui avaient une probabilité de sortie qui lui était favorable. Aujourd'hui les casinos se protègent contre ce genre de pratiques en entretenant soigneusement leur matériel, si bien que les dispersions sont extrêmement faibles. Ceci signifie que les probabilités de sortie d'un numéro donné sont au mieux très légèrement favorables au joueur. Il faudrait donc parier un nombre immense (souvent pendant plusieurs mois) de fois des petites sommes pour espérer un gain probablement très loin de rémunérer les efforts consentis.

Le black jack est un jeu qui possède des stratégies gagnantes : plusieurs techniques de jeu, qui nécessitent généralement de mémoriser les cartes, permettent de renverser les chances en faveur du joueur. Le mathématicien Edward Thorp a ainsi publié en 1962 un livre Beat the Dealer qui fut à l'époque un véritable best-seller. Mais toutes ces méthodes demandent de longues semaines d'entraînement et sont facilement décelables par le croupier (les brusques changements de montant des mises sont caractéristiques). Le casino a alors tout loisir d'écarter de son établissement les joueurs en question. Le black jack reste pourtant le jeu le moins défavorable au joueur : l'avantage du casino n'est que de 0,66 % face à un bon joueur, il est de 2,7 % à la roulette et jusqu'à 10 % pour les machines à sous.

Le Backgammon bien qu'étant un jeu de dés permet de développer des stratégies gagnantes sur un grand nombre de parties. En effet l'arbitrage entre les différents déplacements de pions s'apparente à un mouvement quasi mathématique de style wargame et pouvant être représenté par des graphes probabilistes. Le jeu peut se résumer en un processus séquentiel de Markov. Aussi étrange que cela puisse paraître, ce jeu peut s'appliquer en assurance dans la gestion des risques de manière générale. Les arbitrages constants que doivent effectuer les joueurs peuvent être représentés dans une matrice de Léontiev. De tels outils peuvent "perdre" devant un joueur même inexpérimenté si celui-ci bénéficie de jets de dés favorables mais il est incontestable que plus le nombre de parties est élevé, plus la formule de Stirling et la loi des grands nombres de Bernoulli s'appliquent et permettent à une machine intelligente de gagner presque tout tournoi au-delà de 50 parties.

Les méthodes évoluées pour le loto

Il existe des méthodes assez évoluées. L'une d'elles repose sur les combinaisons les moins jouées. Dans les jeux où le gain dépend du nombre de joueurs gagnants (Loto...), jouer les combinaisons les moins jouées optimisera les gains. On peut tout de même deviner que certains numéros sont joués plus souvent : beaucoup de joueurs cochant leur date de naissance, ou une autre date, les numéros 1, 9, et 19 correspondants à l'année sont très souvent joués. Il en est de même des 12 premiers numéros correspondants aux mois. Mais Il ne suffit pas de prendre les nombres supérieurs à 31 et de les associer aléatoirement; la psychologie des joueurs est beaucoup plus complexe. Par exemple 41-42-43-44-45 ne fait pas partie des combinaisons les moins jouées. On peut même dire qu'elle fait partie des plus jouées. Cette méthode perd de l'intérêt à mesure que, dans les différentes loteries, la proportion de joueurs qui demandent un ticket comprenant des numéros tirés aléatoirement par un ordinateur ("tirage flash") augmente. Si le biais humain est facilement mesurable et quantifiable, on peut considérer que celui de l'ordinateur ne l'est pas (ou en tout cas pas à un niveau qui permettrait d'augmenter ses gains).

Les méthodes miraculeuses

Un certain nombre de revues ou de sites Internet prétendent vous renseigner sur la « forme » des numéros, c'est-à-dire leur probabilité de sortir dans les prochains tirages. Voici par exemple un tirage de 50 boules de loto : 39, 38, 42, 29, 18, 48, 40, 36, 9, 24, 49, 33, 47, 9, 45, 7, 11, 49, 16, 28, 27, 25, 16, 27, 22, 48, 5, 24, 16, 6, 4, 14, 17, 44, 46, 9, 37, 22, 39, 12, 33, 9, 21, 44, 11, 33, 19, 20, 37, 18. On s'aperçoit que la boule 9 est sortie 4 fois alors que la boule 8 n'est jamais sortie. À la suite de calculs savants, les auteurs de ces « méthodes » vous diront alors que le chiffre 9 est en forme et qu'il va donc sortir dans les prochains tirages ou au contraire que la loi des grands nombres implique que le 8 va sortir pour combler son retard.

Il s'agit bien entendu là d'une erreur logique qui lorsqu'elle est propagée sciemment relève de l'escroquerie. Les boules de loto ne s'amusent pas à compter le nombre de fois où elles sont sorties de la machine, d'autant plus qu'il faudrait qu'elles soient suffisamment coquettes pour ne pas prendre en compte les tirages de tests ou de calibrage des machines. Si chaque boule a en moyenne une chance sur 49 de sortir, cette probabilité n'est atteinte que pour un nombre infiniment grand de tirages. Le fait que la boule 9 soit sortie 4 fois de plus que la boule 8 n'a donc aucune importance puisque les probabilités ne garantissent pas que chaque boule va sortir le même nombre de fois, mais simplement que la différence du nombre de sorties de deux boules sera très petite par rapport au nombre total de tirages : rien ne dit que la boule 8 va finalement rattraper son retard. Par exemple, si au bout de dix mille tirages la boule 9 est sortie 206 fois et la boule 8 est sortie 202 fois, on obtiendra une fréquence de 1,01/49 et 0,99/49. Au millionième tirage si la boule 9 est sortie 20410 fois et la boule 8 est sortie 20406 fois on obtiendra respectivement 1,0001/49 et 0,9999/49. Les fréquences s'approchent de plus en plus de la probabilité théorique de 1/49, pourtant la boule 9 conserve son avance de quatre sorties sur la boule 8.

D'autres reposent sur le pari d'un biais systématique : les tirages ne sont pas exactement équiprobables, à la suite par exemple d'infimes différences de poids des boules. Même si le calcul de l'espérance mathématique de ce type de martingale est beaucoup plus complexe, le bon sens indique que si l'auteur de la recette trouve plus rentable de la vendre que de l'utiliser pour son propre compte, c'est probablement que son efficacité est à peu près nulle.

Voir aussi

Articles connexes

• Loto
• Casino virtuel
• Espérance mathématique
• Probabilité

Liens externes

• Martingales et autres illusions, article tiré du journal Pour la Science

• Portail des jeux