Fraction diadique

Fraction diadique

Fraction dyadique

En mathématiques, une fraction dyadique ou rationnel dyadique est un nombre rationnel qui, lorsqu'il est écrit sous forme de fraction, possède un dénominateur sous forme de puissance de deux. On peut le noter formellement par

D=\left\{ \frac{a}{2^b}\,|\, (a,b) \in (\Z\times \N) \right\}.

Par exemple, 1/2 ou 3/8 sont des fractions dyadiques, mais pas 1/3. Ce sont précisément les nombres qui ont un développement de « décimales » binaire fini.

Le pouce est habituellement divisé de manière dyadique plutôt qu'en fractions décimales; de manière similaire, les divisions habituelles du gallon en demi--gallons, quarts et pintes sont dyadiques. Les anciens égyptiens utilisaient aussi les fractions dyadiques dans les mesures, avec des dénominateurs allant jusqu'à 64.

L'ensemble de toutes les fractions dyadiques est dense dans l'ensemble des nombres réels; un nombre réel quelconque x peut être arbitrairement approché autant que l'on veut par des rationnels dyadiques de la forme

\lfloor 2^n x \rfloor / 2^n.

Comparé aux autres sous-ensembles de la droite réelle, tels que les nombres rationnels, c'est un ensemble dense dans un certain sens, plutôt « petit », c'est pourquoi il apparaît quelquefois dans les démonstrations de topologie comme le lemme d'Urysohn.

La somme, le produit ou la différence de deux fractions dyadiques quelconque est elle-même une autre fraction dyadique :

\frac{a}{2^b}+\frac{c}{2^d}=\frac{2^{d-b}a+c}{2^d} \quad (d\ge b)
\frac{a}{2^b}-\frac{c}{2^d}=\frac{2^{d-b}a-c}{2^d} \quad (d\ge b)
\frac{a}{2^b}-\frac{c}{2^d}=\frac{a-2^{b-d}c}{2^b} \quad (d< b)
\frac{a}{2^b}\times \frac{c}{2^d} = \frac{ a \times c}{2^{b+d}}.

Par contre, le résultat de la division d'une fraction dyadique par une autre n'est pas, en général, une fraction dyadique. Ainsi, les fractions dyadiques forment un sous-anneau de l'ensemble des nombres rationnels \mathbb{Q}\,. Algébriquement, ce sous-anneau est la localisation des entiers \mathbb{Z}\, qui respecte l'ensemble des puissances de deux.

Les nombres surréels sont générés par un principe de construction itérative qui commence en générant toutes les fractions dyadiques finies, puis conduit à la création de nouvelles et étranges sortes de nombres infinis, infinitésimaux et autres.

Solénoïde dyadique

Article détaillé : Solénoïde (mathématiques).

En tant que groupe abélien additif, l'ensemble des rationnels dyadiques est la limite directe des sous-groupes cycliques infinis

2^{-n}\mathbb{Z};

pour n = 0, 1, 2, ... . Dans l'esprit de la dualité Pontryagin, il existe un objet dual, nommément la limite inverse du groupe du cercle unité sous l'application carrée répétée

\zeta \rightarrow \zeta^2.

Le groupe topologique résultant D est appelé le solénoïde dyadique.

Un élément du solénoïde dyadique peut être représenté comme une suite infinie de nombres complexes :

q_0, q_1, q_2, \ldots\,, avec la propriété que chaque qi se place sur le cercle unité et que, pour tous les i > 0,
q_i^2 = q_{i-1}.

L'opération de groupe sur ces éléments multiplie deux suites quelconques convenablement.

En tant qu'espace topologique, c'est un continuum indécomposable.

Voir aussi

Notion de nombre
Ensembles usuels \mathbb{N} Entier naturel • \mathbb{Z} Entier relatif • \mathbb{D} Nombre décimal • \mathbb{Q} Nombre rationnel • \mathbb{R} Nombre réel • \mathbb{C} Nombre complexe Mathématiques
Extensions \mathbb{H} Quaternion • \mathbb{O} Octonion • \mathbb{S} Sédénion • Nombre complexe fendu • Tessarine • Nombre bicomplexe • Nombre multicomplexe • Biquaternion • Coquaternion • Octonion fendu • Nombre hypercomplexe • \mathbb{Q}_p Nombre p-adique • Nombre hyperréel • Nombre superréel • Nombre dual • Droite réelle achevée • Nombre cardinal • Nombre ordinal • Nombre surréel et pseudo-réel
Propriétés particulières Parité • Nombre premier • Nombre composé • Carré parfait • Nombre parfait • Nombre positif • Nombre négatif • Fraction dyadique • Nombre irrationnel • Nombre algébrique • Nombre transcendant • Nombre imaginaire pur • Nombre de Liouville • Nombre normal • Nombre univers • Nombre constructible • Nombre réel calculable • Nombre transfini • Infiniment petit • Infiniment grand
Exemples d’importance historique π Pi • √2 Racine carrée de deux • φ Nombre d’or • 0 Zéro • i Unité imaginaire • e Constante de Neper • ℵ0 Aleph-zéro • Table de constantes mathématiques
Notions connexes Chiffre • Numération • Fraction • Opération • Calcul • Algèbre • Arithmétique • Suite d’entiers • ∞ Infini • Chiffre significatif
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