- Espace séparé
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Sommaire
Définition
En mathématiques, un espace séparé, dit aussi espace de Hausdorff, est un espace topologique dans lequel deux points distincts quelconques admettent toujours des voisinages disjoints. Cette condition est aussi appelée axiome T2 au sein des axiomes de séparation.
L'appellation fait référence à Felix Hausdorff, mathématicien allemand et l'un des fondateurs de la topologie, qui avait inclus cette condition dans sa définition originale d'espace topologique.
Cette propriété de séparation équivaut à l'unicité de la limite de tout filtre convergent.
Exemples et contre-exemples
Tout espace métrique est séparé. En effet, deux points situés à une distance L l'un de l'autre admettent comme voisinages disjoints les boules de rayon L / 3 centrées sur chacun d'eux.
Tout espace discret est séparé, chaque singleton constituant un voisinage de son élément. En particulier, un espace discret non dénombrable est séparé et non séparable.
Des exemples d'espaces non séparés sont donnés par :
- tout ensemble ayant au moins deux éléments et muni de la topologie grossière (toujours séparable) ;
- tout ensemble infini muni de la topologie cofinie (qui pourtant satisfait l'axiome T1 d'espace accessible) ;
- certains spectres d'anneau munis de la topologie de Zariski.
Principales propriétés
DémonstrationC'est un cas particulier de l'unicité de la limite d'un filtre convergent, mais donnons-en une démonstration élémentaire. Supposons que soit une suite convergeant vers les points x et y dans un espace topologique séparé.
Soient Vx un voisinage de x et Vy un voisinage de y.
tend vers x donc il existe un entier Nx tel que .
tend vers y donc il existe un entier Ny tel que .
Posons . On a immédiatement donc .
Par conséquent, un voisinage de x et un voisinage de y ont forcément des points en commun, ce qui dans un espace topologique séparé implique que x = y (contraposée de la définition de séparé).
Ainsi une suite convergente d'un espace topologique séparé ne peut converger vers deux limites distinctes.
- Deux applications continues à valeurs dans un séparé qui coïncident sur une partie dense sont égales. Plus explicitement : si Y est séparé, si sont deux applications continues et s'il existe une partie D dense dans X telle que alors .
- Une topologie plus fine qu'une topologie séparée est toujours séparée.
- Tout sous-espace d'un espace séparé est séparé.
- Un produit d'espaces topologiques non vides est séparé si et seulement si chacun d'eux l'est.
Par contre un espace quotient d'un espace séparé n'est pas toujours séparé.
- X est séparé si et seulement si, dans l'espace produit , la diagonale est fermée.
DémonstrationDire que la diagonale est fermée revient à dire que l'ensemble est ouvert (pour la topologie produit). Les équivalences suivantes permettent de conclure :
- O est ouvert si et seulement s'il est voisinage de tous ses éléments, ce qui équivaut à
- pour tout , il existe U, V ouverts de X tels que et , qui lui-même équivaut à
- pour tous distincts, il existe U, V ouverts de X tels que
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