Espace séparé

Espace séparé
Page d'aide sur l'homonymie Ne pas confondre avec la structure d'espace séparable.
Deux points admettant des voisinages disjoints.

Sommaire

Définition

En mathématiques, un espace séparé, dit aussi espace de Hausdorff, est un espace topologique dans lequel deux points distincts quelconques admettent toujours des voisinages disjoints. Cette condition est aussi appelée axiome T2 au sein des axiomes de séparation.

L'appellation fait référence à Felix Hausdorff, mathématicien allemand et l'un des fondateurs de la topologie, qui avait inclus cette condition dans sa définition originale d'espace topologique.

Cette propriété de séparation équivaut à l'unicité de la limite de tout filtre convergent.

Exemples et contre-exemples

Tout espace métrique est séparé. En effet, deux points situés à une distance L l'un de l'autre admettent comme voisinages disjoints les boules de rayon L / 3 centrées sur chacun d'eux.

Tout espace discret est séparé, chaque singleton constituant un voisinage de son élément. En particulier, un espace discret non dénombrable est séparé et non séparable.

Des exemples d'espaces non séparés sont donnés par :

Principales propriétés

  • Dans un espace topologique séparé, une suite convergente a une limite unique.
  • Deux applications continues à valeurs dans un séparé qui coïncident sur une partie dense sont égales. Plus explicitement : si Y est séparé, si f,g:X\to Y sont deux applications continues et s'il existe une partie D dense dans X telle que \forall x\in D,\; f(x)=g(x) alors \forall x\in X,\; f(x)=g(x).
  • Une topologie plus fine qu'une topologie séparée est toujours séparée.

Nuvola apps important.svg Par contre un espace quotient d'un espace séparé n'est pas toujours séparé.

  • X est séparé si et seulement si, dans l'espace produit X\times X, la diagonale \{(x,x);x\in X\} est fermée.

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