Ensembles Disjoints

Ensembles disjoints

En mathématiques, deux ensembles sont dits disjoints s'ils n'ont pas d'éléments en commun. Par exemple, ${1,2,3}$ et ${4,5,6}$ sont deux ensembles disjoints.

Explication

De manière formelle, deux ensembles $A$ et $B$ sont disjoints si leur intersection est l'ensemble vide, c'est-à-dire si

$A\cap B = \emptyset$

Cette définition s'étends à une collection d'ensembles. Une collection d'ensembles disjoints deux à deux ou mutuellement disjoint si tout couple de 2 ensembles de cette collection sont disjoints.

Formellement, soit $I$ un ensemble indexé, et pour chaque $i \in I$ , on définit $A i$ comme un ensemble. Alors la famille d'ensembles $\{A_i/\ i\in I\}$ est mutuellement disjointe si

$\forall (i,j)\in I^2,\ i \neq j,\ A_i \cap A_j = \emptyset$

Par exemple, la famille de singletons ${{1},{2},{3}}$ est mutuellement disjointe.

Si ${A i}$ est une famille mutuellement dijointe, alors l'intersection de tous ses ensembles est vide:

$\bigcap_{i\in I} A_i = \emptyset$

Cependant, la réciproque est fausse: l'intersection de la famille ${{1,2},{2,3},{3,4}}$ est vide, mais cette famille n'est pas mutuellement disjointe.

Une partition $X$ est une famille de sous-ensembles non vides $\{A_i/\ i\in I\}$ de $X$ telle que les $A i$ sont mutuellement disjoints et que :

$\bigcup_{i\in I} A_i = X$

Voir aussi

Ensembles presque disjoints
Connectivité
Union disjointe
Union-Find

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Catégorie : Théorie des ensembles

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