- Espace séquentiel
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En mathématiques, un espace séquentiel est un espace topologique dont la topologie est définie par l'ensemble de ses suites convergentes. C'est le cas en particulier pour tout espace à base dénombrable.
Sommaire
Définitions
Soit X un espace topologique.
- Un sous-ensemble U de X est dit « séquentiellement ouvert » si toute suite (xn) de X qui converge vers un point de U « appartient à U à partir d'un certain rang »[1].
- Un sous-ensemble F de X est dit « séquentiellement fermé » si la convergence d'une suite (xn) de F vers x implique que x appartient à F.
Tout sous-ensemble ouvert de X est séquentiellement ouvert.
Un espace séquentiel est un espace topologique satisfaisant l'une des conditions équivalentes suivantes :
- Tout sous-ensemble séquentiellement ouvert de X est ouvert ;
- Tout sous-ensemble séquentiellement fermé de X est fermé.
Historique
Bien que des espaces satisfaisant ces conditions aient été étudiés, de manière implicite, bien avant la formulation explicite des espaces séquentiels, on attribue la première définition rigoureuse de ceux-ci à S. P. Franklin en 1965.
Il tentait de répondre à la question « Quelles sont les classes d'espaces topologiques qui peuvent être définis complètement ne connaissant que leurs suites convergentes ? ». Franklin aboutit à la définition ci-dessus.
Définitions équivalentes
Soi X un espace, alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
- X est séquentiel ;
- X est le quotient d'un espace dont tous les points possèdent une base de voisinages dénombrable ;
- X est le quotient d'un espace métrique ;
- Pour tout espace topologique Y et toute application f : X → Y, f est continue si et seulement si, pour toute suite de points (xn) dans X convergent vers x, la suite (f(xn)) converge vers f(x)[2].
Fermeture séquentielle
Soit un sous-ensemble
d'un espace X, la fermeture séquentielle ![\left[A\right]_{\mbox {seq}}](c/2bc953a326a41a10da0ecc5d4e343af0.png)
est l'ensemble :c'est-à-dire l'ensemble de tous les points
pour lesquels il existe une suite de A qui converge vers x. L'application :est appelée opérateur de fermeture séquentielle. Il partage des propriétés avec les fermetures ordinaires, notamment le fait que l'ensemble vide est séquentiellement fermé :
Les ensembles séquentiellement fermés sont toujours des sous-ensembles d'ensembles fermés :
pour tout
— ici 
désigne la fermeture ordinaire de l'ensemble A.La fermeture séquentielle commute avec l'union :
pour tout
. Cependant, contrairement à la fermeture ordinaire, l'opérateur de fermeture séquentielle n'est généralement pas idempotent, il peut ainsi vérifier :et cela, même lorsque
est sous-ensemble d'un espace séquentiel X.Espace de Fréchet-Urysohn
Les espaces topologiques pour lesquels la fermeture séquentielle coïncide avec la fermeture ordinaire sont appelés espaces de Fréchet-Urysohn, d'après Maurice Fréchet et Pavel Urysohn. Ils vérifient :
pour tout
. Un espace est de Fréchet-Urysohn si et seulement si chacun de ses sous-espaces est séquentiel.Notes et références
- C'est-à-dire qu'il existe N tel que xn est dans U pour tout n ≥ N.
- On parle de la « caractérisation séquentielle de la limite ».
- (en) R. Engelking : General Topology, PWN, Warsaw, (1977).
- (en) S. P. Franklin : « Spaces in Which Sequences Suffice », Fund. Math. 57 (1965), 107-115.
- (en) S. P. Franklin : « Spaces in Which Sequences Suffice II », Fund. Math. 61 (1967), 51-56.
- (en) Anthony Goreham : « Sequential Convergence in Topological Spaces ».
- (en)/(ru) A.V. Arkhangelskii, L.S. Pontryagin, General Topology I, Springer-Verlag, New York (1990) ISBN 3-540-18178-4.
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sequential space » (voir la liste des auteurs)
![\left[A\right]_{\mbox {seq}}= \{x\in X : \{a_n\}\to x, a_n\in A \}](f/b8f9f102f011bf3ae1aef76ee625d6b5.png)
![\left[ \, \cdot \, \right]_{\mbox {seq}} : A\mapsto \left[A\right]_{\mbox {seq}}](d/82d1629df87a8a6860276bdca7ee85b5.png)
![\left[\varnothing \right]_{\mbox {seq}} = \varnothing](a/75a50fd8d81769d3069783afad0d052e.png)
![A \subset \left[A\right]_{\mbox {seq}} \subset \overline{A}](f/1df3dd07f874a57d4af7e9d03b3bb1cd.png)
![\left[A\cup B\right]_{\mbox {seq}} = \left[A\right]_{\mbox {seq}} \cup \left[B\right]_{\mbox {seq}}](b/86bbc2ae7f0a381e6584e3555028c385.png)
![\left[ \left[A\right]_{\mbox {seq}} \right]_{\mbox {seq}}\ne \left[A\right]_{\mbox {seq}}](6/0268e39cb509ba86f1807366be37fc4b.png)
![\left[A\right]_{\mbox {seq}} = \overline{A}](a/90aedf27b777d64945d28d38102b0f6c.png)
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