Décimaux

Décimaux

Nombre décimal

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Un nombre décimal est un nombre possédant un développement décimal limité et pouvant s'écrire sous la forme a\times 10^p (où a et p sont des entiers relatifs). Ce n'est pas le cas, par exemple, du nombre \pi\, qui possède cependant autant d'approximations décimales que l'on veut : 3,14\;;\;3,14\,159\;;\;3,14\,159\,265\;;\;\text{etc.}

Sommaire

Caractérisation

Si a est un nombre rationnel, les propriétés suivantes sont équivalentes et caractérisent le fait que le nombre a est décimal :

  • a admet un développement décimal limité (c'est-à-dire avec un nombre fini de chiffres différents de 0).
  • Il existe m\in \mathbb Z et p\in \mathbb N tels que : a = \frac{m}{10^p}.
  • La fraction irréductible de a est de la forme \frac{b}{5^m \times 2^p}, où b est un entier relatif et m et p des entiers naturels.
  • a possède deux développements décimaux distincts.

Remarques

  • La première assertion prouve que 1,6666 est un nombre décimal et que 1,6666... (qui s'écrirait avec une infinité de 6) n'en est pas un.
  • La deuxième assertion nous dit que \frac{765}{10^8} est un nombre décimal, mais elle ne peut pas être utilisée pour prouver qu'un nombre n'est pas décimal.
  • La troisième assertion nous donne une méthode pour reconnaître si un nombre rationnel est décimal : il suffit de déterminer sa fraction irréductible (par exemple en calculant le PGCD de son numérateur et de son dénominateur), puis de tester si le dénominateur est uniquement divisible par 2 et 5.
  • La quatrième assertion fait souvent figure de « curiosité ». Le nombre 2,5 peut aussi être écrit 2,4999... (avec une infinité de 9). Pour des détails, voir l'article Développement décimal de l'unité.

Structure algébrique

L'ensemble des décimaux est souvent noté \mathbb D. (\mathbb D,+,\times) est un anneau intègre commutatif. Son corps des fractions étant \mathbb Q.

Topologie

\mathbb D est dense dans \mathbb R. Autrement dit, tout nombre réel est la limite d'une suite de nombres décimaux. Ce théorème est fréquemment utilisé lors de la recherche de valeurs approchées.

Voir aussi

Notion de nombre
Ensembles usuels \mathbb{N} Entier naturel • \mathbb{Z} Entier relatif • \mathbb{D} Nombre décimal • \mathbb{Q} Nombre rationnel • \mathbb{R} Nombre réel • \mathbb{C} Nombre complexe Mathématiques
Extensions \mathbb{H} Quaternion • \mathbb{O} Octonion • \mathbb{S} Sédénion • Nombre complexe fendu • Tessarine • Nombre bicomplexe • Nombre multicomplexe • Biquaternion • Coquaternion • Octonion fendu • Nombre hypercomplexe • \mathbb{Q}_p Nombre p-adique • Nombre hyperréel • Nombre superréel • Nombre dual • Droite réelle achevée • Nombre cardinal • Nombre ordinal • Nombre surréel et pseudo-réel
Propriétés particulières Parité • Nombre premier • Nombre composé • Carré parfait • Nombre parfait • Nombre positif • Nombre négatif • Fraction dyadique • Nombre irrationnel • Nombre algébrique • Nombre transcendant • Nombre imaginaire pur • Nombre de Liouville • Nombre normal • Nombre univers • Nombre constructible • Nombre réel calculable • Nombre transfini • Infiniment petit • Infiniment grand
Exemples d’importance historique π Pi • √2 Racine carrée de deux • φ Nombre d’or • 0 Zéro • i Unité imaginaire • e Constante de Neper • ℵ0 Aleph-zéro • Table de constantes mathématiques
Notions connexes Chiffre • Numération • Fraction • Opération • Calcul • Algèbre • Arithmétique • Suite d’entiers • ∞ Infini • Chiffre significatif
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