- Coma (musique)
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Comma
Acoustique musicale Gamme musicale Gammes et tempéraments Mesure des intervalles 
Pour les articles homonymes, voir Coma (homonymie).Un comma est une faible quantité qui s'exprime par une fraction arithmétique, généralement rationnelle, dont la valeur est relativement proche de l'unité.
En musicologie les commas (plus correctement même : commata, au pluriel) furent étudiés intensément, surtout avant le règne de la gamme tempérée.
En métrologie, similairement, le comma est une notion de la métrologie historique, concernant les mesures d'avant l'instauration du système métrique.La définition de la valeur maximum de cette faible quantité, c'est-à-dire, de ce qui est comma et de ce qui ne l'est plus, dépend des champs d'applications.
Sommaire
Comma en musique
En théorie de la musique, un comma est un intervalle très faible entre deux notes enharmoniques[1]. Le comma intervient dans l'accordage des instruments en servant de base à la construction des tempéraments[2].
Cet intervalle correspond approximativement à l'écart de fréquence entre un LA à 440hz et un LA à 446hz soit 6 battements par seconde. Des différences de comma ne sont pas facilement décelables dans les intervalles mélodiques. Dans les intervalles harmoniques, elles provoquent dissonances et battements.
Principaux commas
L'accordage des instruments utilise trois types de commas[2]:
- Le comma pythagoricien
- Le comma syntonique
- Le comma enharmonique
Comma pythagoricien
Article détaillé : comma pythagoricien.Appelé aussi comma diatonique[2], c'est l'intervalle entre 12 quintes pures consécutives et 7 octaves.
Il a pour rapport acoustique 312⁄219 = 531441⁄524288. Il vaut environ 23,46 cents.
Comma syntonique
Article détaillé : comma syntonique.Appelé aussi comma zarlinien, c'est l'intervalle entre 4 quintes pures consécutives et une tierce majeure pure. C’est aussi l’intervalle entre un ton mineur et un ton majeur.
Il a pour rapport acoustique 81⁄80 et est donc inférieur au comma pythagoricien. Il vaut environ 21,50 cents.
Comma enharmonique
Appelé aussi (petit) diésis, c'est l'intervalle entre 3 tierces majeures pures et une octave. C'est aussi l'intervalle entre le demi-ton chromatique et le demi-ton diatonique de la gamme naturelle à tierces pures.
Il a pour rapport acoustique 128⁄125. Il vaut environ 41,05 cents.
Commas théoriques
Article connexe : Tempérament par division multiple.- Le comma de Holder est la 53e partie d'une octave. Il est très proche du comma pythagoricien qui divise approximativement l'octave en 53. Il est fixé au 1/9 du ton, soit au 1/53 de l'octave. Ainsi, le ton contient neuf commas ; le demi-ton diatonique, quatre ; le demi-ton chromatique, cinq ; et l'octave, 53. Le comma de Holder vaut environ 22,64 cents.
- Le comma de Sauveur est approximativement la 43e partie d'une octave. Il vaut environ 27,90 cents.
Autres commas
- le schisma est l'intervalle compris entre le comma pythagoricien et le comma syntonique. Il vaut 5x38⁄215 soit 32805⁄32768. La meilleure approximation du type (n+1)⁄n avec n entier est 886⁄885, valeur parfois utilisée. Le schisma vaut environ 1,95 cents. De façon approchée, le comma syntonique vaut 11 schismas et le comma pythagoricien en vaut 12.
- le grand diésis intervalle entre l’octave et quatre tierces mineures pures, de valeur 648⁄625. Il vaut environ 62,56 cents.
- le diaschisma, intervalle obtenu en composant (en descendant) 2 tierces pures et 4 quintes pures. Sa valeur est 211⁄(52x34) soit 2048⁄2025. Il vaut environ 19,55 cents.
Perception
Le comma est théoriquement la plus petite différence qu'on puisse tolérer pour identifier une hauteur donnée. Par exemple : Si au lieu de jouer un mi, on joue la hauteur à mi-chemin entre mi et fa, c'est-à-dire deux commas plus haut que le mi normal, l'auditeur éprouvera un malaise : « Est-ce mi, ou bien fa ? ». Au contraire, si on joue la hauteur supérieure d'un comma à la note mi, l'auditeur n'hésitera plus entre mi et fa : il percevra bien un mi, mais simplement un mi un peu haut... C'est sur cette notion de tolérance que sont basés les tempéraments musicaux. En conclusion, au-delà du comma, toute différence de hauteur devient inacceptable, parce que les degrés ainsi que les intervalles qui les séparent ne sont plus perçus avec précision par l'auditeur.
Le comma n'est pas la plus petite différence de fréquence qu'une oreille humaine puisse percevoir entre deux sons : en réalité, une oreille humaine, même non exercée, peut discerner des différences bien inférieures : de l'ordre d'1/100 de ton en justesse harmonique (sons entendus simultanément), et parfois davantage. En outre, un intervalle très faible entre deux notes émises simultanément produit un phénomène de « battement » très perceptible et qui est d'ailleurs mis à profit pour accorder les instruments.
Les musiciens considèrent généralement qu’un ton vaut 9 commas, sans autre précision. Implicitement, il s’agit alors :
- du ton majeur
- du comma pythagoricien, de Holder ou de zarlino.
- d’une approximation
Histoire
A l'époque baroque, la recherche de nouveaux tempéraments était la conséquence de la fausseté des tierces dans la gamme pythagoricienne alors en usage, et, de fait, lorsque l'on repartit le comma pythagoricien sur, par exemple, 4 quintes (do-sol-re-fa-mi), alors l'intervalle de tierce do-mi est tronquée d'un comma pythagoricien. Tronquée d'un comma syntonique, elle serait pure... Mais étant donnée la quasi-équivalence entre les deux commas, cela fait l'affaire dans les calculs des tempérament, qui, s'attachant, physiquement, à repartir le comma pythagoricien, s'intéressent en réalité principalement à réduire la fausseté des tierces.
Même si les notions et les valeurs sont précises, il règne une certaine confusion dans la terminologie : le même mot (et particulièrement diésis) a parfois des significations différentes selon les auteurs ...
Des différences de commas, bien qu'elles soient régulièrement peu audibles voire inaudibles, dans certains intervalles, sont, dans d'autres, sources de dissonances parfois très prononcées (voir quinte du loup). Les commas ont donc causé l’embarras des théoriciens de la musique jusqu’à l’établissement et la généralisation de la gamme tempérée (qui ne les élimine pas, mais permet d’en amoindrir les effets).
Articles musicologiques connexes
Comma en métrologie
En métrologie historique la notion de comma est relativement récente. Les ratios simples entre les mesures furent mentionnés dès l'Antiquité par Héron d'Alexandrie et bien d'autres. Les déductions des mesures anciennes entre elles, sont admises et reconnues par la métrologie historique contemporaine. Les mesures anciennes sont déduites, les unes des autres, par des ratios, dont et le numérateur et le dénominateur sont généralement sept-lisse ou plus lisse, occasionnellement seulement aussi onze-lisse. Il est évident que, nécessairement, par le jeu des déductions prenant d'autres chemins pour arriver presque au même résultat, l'existence de commas est inhérent au système. Malgré tout, pendent longtemps, ils furent négligés. Les petites inexactitudes furent globalement et sans examen approfondi attribué aux travail mal-fait des métrologues anciens.
Le premier à se soucier du comma métrologique fut probablement le métrologue historique allemand Rolf C.A. Rottländer[3]. Il constitua, en tant que professeur de l'université de Tübingen, un groupe de travail interdisciplinaire, impliquent à la fois des métrologues historiques, des musicologues et des mathématiciens. Ce groupe de travail universitaire fut nommé « M.M.M. », pour « Mesure, Musique, Mathématiques »[3]. Il jouissait en outre du soutien financier externe de la GDCh, la Société des Chimistes Allemands. Ce groupe collecta et examina plus de mille règles gradués connues, généralement issues de fouilles archéologiques. Pour délimiter volontairement la tâche énorme, ce groupe de travail se spécialisa d'abord à l'Antiquité, prenant en compte les mesures du Moyen-Âge à condition seulement, que les mêmes mesures identiques soient déjà attestées depuis l'Antiquité.
Commas métrologiques
En métrologie le comma enharmonique des musicologues n'est pas considéré étant comma. Si bien le ratio 128 : 125 est bien connu des métrologues, car le pied d'Abydos et le pied ancien de roi par exemple l'entretiennent. La différence est de presque six millimètres ou exactement + 2,4 %. C'est pour cela, les métrologues les identifient clairement comme deux mesures différentes, mesurant 326,592 et 318,9375 millimètres respectivement, cf. ce tableau synoptique. La même chose est vraie pour le comma syntonique et le comma pythagoricien des musicologues, respectivement, 81 : 80, soit + 1,25 % et 312 : 219, soit environ + 1,36 %. Si ces rapports sont bien observés, mais les métrologues parlent, en l'occurrence, de ratio, car les écarts sont trop importants pour être considérés étant comma.
Le seuil de comma dépend du type de mesure. Pour les mesures unidimensionnels comme l'unité de longueur, il se situe à, maximum, ± 0,17 %, car ceci constitue d'un côté, la précision minimum atteinte dès l'Antiquité et durant le Moyen-Âge, et de l'autre côté, aussi la précision minimum exigée pour de produits artisanaux soignés, cf. Tolérance. Ceci dit, les métrologues producteurs d'étalons parvinrent, bien souvent et dès l'Antiquité, à des précisions trois ou quatre fois supérieures. Avec le volume par exemple, unité multidimensionnelle, le facteur de tolérance se multiplie corrélativement.
Cela explique, pourquoi le comma enharmonique et le comma syntonique des musicologues, par exemple, est bien connu aux métrologues en tant que simple ratio. En musique, il n'y a que douze demi-tons dans l'octave. La gamme dite bien tempérée repartie l'erreur, (ou bien, plus précisément, l'introduit pour de raisons pratiques,) par la formule : douzième racine de deux. Ceci dit, chaque note a une fréquence de quelques 5,95 % supérieur à la note plus grave, juste en dessous. Dans les gammes naturelles, tout écart inférieur est considéré comme comma par les musicologues.
Comma ordinaire
Le comma ordinaire en métrologie ancienne est le ratio 2401 : 2400 ou son inversion 2400 : 2401, soit d'environ ± 0,042 %. Cet écart est, compte tenu des exigences anciennes, relativement mince. C'est pour cette raison, ce ratio, en métrologie, est bien considéré être un comma. Il est composé d'un nombre onze-lisse et d'un second nombre cinq-lisse, soit respectivement : 74 = 2401 et 25 × 31 × 52 = 2400.
Ce comma peut s'introduire facilement par l'omniprésence de facteurs sept-lisses dans les ratios de déduction, comme par exemple les nombres vingt-huit et trente-cinq.
Comma graine de pavot
Le comma dit graine de pavot est de 4375 : 4374. C'est un comma aussi relativement fréquent en métrologie ancienne. Il implique un nombre sept-lisse et un autre nombre, trois-lisse celui-ci. Soit : 7 × 54 = 4375 et 2 × 37 = 4374. Ce comma est donc d'environ ± 0,023 %.
Comma métrique
Le comma dit métrique est de 250 047 : 250 000. Il implique un nombre sept-lisse et un autre nombre cinq-lisse celui-ci. Soit : 36 × 73 = 250 047 et 24 × 56 = 250 000. Ce comma est donc de + 0,018 8 % exactement, ou bien, dans son inversion, d'environ - 0,018 796 5 pour-cent.
En développant ce ratio, on obtient également : 1 000 188 : 1 000 000. Ce petit comma métrologique est particulièrement intéressant. Cela pour deux raisons :
- Ce comma exprime parfaitement le ratio entre deux valeurs conventionnelles possibles du pied Drusien, respectivement : 2 -1 × 3 5 × 5 -3 × 7 3 = 333,396 millimètres et 2 3 × 3 -1 × 5 3 = 333 ⅓ millimètres. La première valeur, la valeur sept-lisse, est largement préférable en métrologie historique. La valeur cinq-lisse serait possible également, car elle rentre aussi à l'intérieur du coefficient de variation déterminé pour les mesures anciennes. Mais la première valeur se révèle d'être beaucoup plus pratique. En effet, la seconde valeur, dépourvue des facteurs trois et sept, à la première division par sept, donne 47 13 ⁄ 21 = 47, 619 047. Si cette valeur, avec une périodicité à six chiffres seulement, resterait plutôt gérable, à la seconde division par sept, on obtient 6 118 ⁄ 147. Cette fraction rationnelle, lorsqu'elle est exprimée en fraction décimale provoque une période sur quarante-deux chiffres, donc complètement ingérable. Si enfin, on doit, dans une troisième déduction, diviser le résultat encore par sept, ce qui n'a, en métrologie ancienne, rien d'extraordinaire, on obtient 1000 ⁄ 1029, soit une période décimale sur 294 chiffres. (Sic !) La même opération, en partant de la valeur initialement sept-lisse, donne respectivement les valeurs limpides de 47,638 mm, de 6,804 mm et de 0,972 mm, sans arrondi nouveau. Cet exemple démontre que dans la métrologie historique, les valeurs conventionnelles lisses sont toujours préférables aux valeurs arrondies à une décimale quelconque près. Sauf, bien entendu, lorsqu'on parle d'un seul spécimen précis, mesuré scientifiquement avec la meilleure précision possible.
- Ce même comma métrique comble aussi pratiquement toute l'erreur,[4] qui est de l'ordre de moins 0,02 pour-cent, des mesures de Delambre et Méchain, effectuées entre Dunkerque et Barcelonne à la fin du XVIIIe siècle pour la définition exacte du mètre décimal, devenu loi en l'An VIII (1799).
Ce comma métrique ne constitue, en réalité, qu'un raccourci pratique. Il s'agit, en fait, d'une simple combinaison des deux commas importants précédents, soit le comma ordinaire multiplié par le comma grain de pavot inversé, car : 1,000188 = (2401 ÷ 2400) × (4374 ÷ 4375).
Autres commas en métrologie
Comma onze-lisse
Le comma onze lisse le plus fréquent implique même un nombre onze à la puissance de deux, soit cent vingt-et-un.
Le comma onze lisse : 3025 : 3024 ≅ 1,0003307, soit environ plus 0,0331 pour-cent. Le premier nombre du ratio égale 5 2 × 11 2 et le second nombre égale 2 4 × 3 3 × 7.Les métrologues de Louis XIV, lors de la réforme, colbertienne, de la toise en 1668, choisirent manifestement un pied néo-romain affecté du comma onze-lisse 3025 : 3024.
Car, abstraction faite du supplémentaire comma légal français (voir plus bas), le pied nouveau de roi mesura 297,675 × (3025 ÷ 3024) × (12 ÷ 11) = 324,84375 millimètres.Commas : 13, 17, 19.
Les commas tels que comma 13, comma 17, comma 19, voire comma 23, etc. sont en fait des faux commas. Car aucun métrologue de formation ne choisissait jamais d'introduire délibérément dans les déductions de mesures, un nombre premier tellement encombrant. Les facteurs premier deux, trois et cinq sont inclus dans le système sexagésimal traditionnel. Ils sont omniprésent dans, et partie intégrante du système de mesure ancien, qui visa les nombres hautement composés. L'introduction des deux nombres premiers suivants, sept et onze, fut une nécessité, notamment par la triangulation rationnelle du carré pratiqué pendant des millénaires. Si bien, les métrologues bien avertis éliminèrent déjà le facteur onze de toutes les autres unités de longueur, par la création délibérée d'une perche astucieusement onze-lisse elle-même, donc de 16½ ou de 22 pieds.
Quelques mauvais ouvrages vulgarisateurs de l'époque moderne mentionnent parfois des ratios d'une lissité supérieurs à onze, comme par exemple l'improbable ratio 13 : 19. Les commas suivants visent seulement à restituer les déductions métrologiques réelles.
• Comma 13-lisse : 4096 : 4095 = 1,0002442, soit environ plus 0,0224 pour-cent. Facteurs : 2 12 : 3 2 × 5 × 7 × 13 • Comma 17-lisse : 1701 : 1700 ≅ 1,0005882, soit environ plus 0,0588 pour-cent. Facteurs : 7 × 3 5 : 2 2 × 5 2 × 17 • Comma 19-lisse : 1216 : 1215 ≅ 1,0008230, soit environ plus 0,0820 pour-cent. Facteurs : 19 × 2 6 : 3 5 × 5 La combinaison avec un des commas principaux peut parfois être judicieux pour la compréhension d'une déduction. Exemple : (1701 ÷ 1700) × (2400 ÷ 2401) = 5832 ÷ 5831, soit 0,0171 %.
Lorsqu'une mesure locale fut supplantée par la mesure d'un pays conquérant par exemple, on officialisa parfois même ces ratios inhabituels. L'ancienne mesure fut redéfinit, valant e.g. (24 × 17 =) 408,0 pouces du nouveau pied dominant, au lieu de, correctement, 408 ⅓ pouces.Commas légaux
Les commas légaux des anciennes mesures expriment le ratio entre les valeurs légales et les valeurs très lisses les plus proches. Ainsi :
La verge anglo-saxonne, yard en anglais, fut définit légalement en 1959 valant 0,9144 mètres exactement.[5]
Le comma légal anglo-saxon : 15 876 : 15 875 ≅ 1,000062992, soit environ 0,0063 pour-cent. Le premier nombre du ratio égale 2 2 × 3 4 × 7 2 et le second nombre égale 5 3 × 127 .La toise autrichienne fut définit par la loi métrologique autrichienne du 23 juillet 1871, valant 1,896 483 84 mètres exactement.[6]
Le comma légal autrichien : 123 480 : 123 469 ≅ 1,000089091, soit environ 0,0089 pour-cent. Le premier nombre du ratio égale 2 3 × 3 2 × 5 × 7 3 et le second nombre égale 37 × 47 × 71 .La loi du 19 frimaire An VIII (10 déc. 1799) stipula que le mètre soit égal à « une longueur de 3 pieds 11,296 lignes de la Toise de l'Académie »[7], d'où un pied de roi est environ 324,839 385 mm.
Le comma légal français : 3 200 043 : 3 200 000 = 1,0000134375, soit environ 0,0013 pour-cent. Le premier nombre du ratio égale 1979 × 11 × 7 2 × 3 et le second nombre égale 2 10 × 5 5.Notez que le pied polonais n'a pas de comma légal. Avec sa valeur légale de 288,0 mm, il est d'une lissité exquise. Tout au plus, pour une question pratique, il conviendrait de lui restituer son comma ordinaire.
Puisque le pied polonais est directement déduit du pied romain par la triangulation rationnelle du carré : (((296,352 × 16½) ÷ 99) × 70) ÷ 12 = 288,12 millimètres. Leur ratio historique est donc bien de 35 : 36.
Un hypothétique ratio de 1000 : 1029 entre le pied polonais et le pied romain est définitivement exclus par le rasoir d'Ockham.Comma métrologique et précision
La présence de commas n'affecte pas la bonne précision relative de la métrologie ancienne dans son ensemble. En effet, on pourrait croire : Par un effet accumulatif de commata, toutes les précisions partiraient inévitablement à la dérive, invalidant dans son ensemble toute la métrologie ancienne. Ceci ne fut pas le cas ! La raison pour cela est très simple. Tous les métrologues, dès la plus haute Antiquité, à chaque fois qu'ils établirent un nouvel étalon, se rassurèrent en le comparent à plusieurs autres grandes mesures connus et pratiqués dans les pays environnants. En étudiant et en connaissant parfaitement les ratios avec les mesures de leurs voisins, le système ancien de mesure se pratiqua durant des millénaires, avec une précision admirable.
Articles métrologiques connexes
Notes et références
- ↑ Claude Abromont, Guide de la théorie de la musique, Fayard, 2001 (ISBN 9782213609775), p. 335
- ↑ a , b et c Pierre-Yves Asselin, Musique et Tempérament, Jobert, Paris, 2000 (ISBN 2905335009), p. 37
- ↑ a et b Bibliographie sur uni-koeln.de de vingt-trois de ses publications et M M M, Édition Ordo et Mensura, St. Katharinen, 1991 en particulier.
- ↑ Selon WGS 84, la circonférence de la Terre, en passant par les pôles, mesure 40 007 863 mètres.. Quatre fois 10 001 880 égale 40 007 520 mètres. Il reste un écart de 85,75 mètres à la distance entre équateur et pôle, contre près de deux kilomètres suivant la loi de 1799.
- ↑ Avant 1959, les définitions concrètes du yard divergèrent dans les différents pays anglo-saxons, mais aux valeurs presque identique. Cf. US : Federal Register, July 1, 1959 & GB : Public General Acts and Measures, 1963.
- ↑ La toise autrichienne se nomme Klafter. Pour sa définition légale, cf. Reichsgesetzblatt 16, Artikel IV, Seite 30, sur le site de la Bibliothèque Nationale d'Autriche.
- ↑ D'où la toise mesure 54 000 ÷ 27 706 m, soit environ 1,94903631 mètres, cf. Un historique du mètre, par Denis Février sur www.industrie.gouv.fr.
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