Perche (unite)

La perche est une ancienne mesure de longueur  – généralement de dix à vingt-deux pieds –  ou de surface. Dans le second cas, il s'agit en réalité d'une perche carrée, mais le mot « carrée » fut souvent omis.

La perche fut la mesure principale des arpenteurs. Afin de pouvoir effectuer la triangulation rationnelle du carré, ces derniers préférèrent bien souvent une perche comportant délibérément le facteur premier onze.

Sommaire 1 Les mesures 1.1 Longueur 1.2 Surface 2 La triangulation rationnelle du carré 2.1 Les perches onze-lisses 2.2 La dérivation des mesures 3 Voir aussi

Les mesures

Longueur

• La perche romaine , ou pertica, valait 10 pieds, soit environ 3 mètres (2 963,52 mm exactement).

• La perche allemande pouvait valoir 12 ou 16 pieds, soit environ 3,6 ou 4,8 mètres ;
• La perche anglo-saxonne vaut 16½ pieds (= 5½ verges ou yards), soit environ 5 mètres ;

En France :

• La perche du Roi de France valait 18 pieds, soit plus de 5,8 mètres ;
• La perche ordinaire valait 20 pieds, soit environ 6,5 mètres ;
• La perche d'arpent valait 22 pieds, soit plus de 7,1 mètres. Elle se disait aussi « des eaux et forêts ».

Surface

• La perche (carrée) du Roi valait 18 pieds de côté (= 324 pieds carrés), soit environ 34,2 mètres carrés ;
• La perche (carrée) ordinaire valait 20 pieds de côté (= 400 pieds carrés), soit environ 42,2 mètres carrés ;
• La perche (carrée) d'arpent valait 22 pieds de côté (= 484 pieds carrés), soit environ 51,1 mètres carrés.
  Cette dernière perche, dites aussi « des eaux et forêts », était celle des arpenteurs, soit la moitié d'un are.
  Cent perches carrées, c'est un arpent carré ou un acre.

La triangulation rationnelle du carré

Aujourd'hui nous savons que la valeur de racine carrée de deux est un nombre irrationnel. Dès la plus Haute-Antiquité les mathématiciens, les géomètres et les arpenteurs cherchèrent une valeur rationnelle à la diagonale du carré.

Ils s'approchèrent donc au nombre irrationnel d'une manière comparable à nos jours où nous exprimons une valeur arrondie par  1 + 4142 / 10000  ou  1 + 414 213 562 / 10^-9.
Déjà au premier tiers du II^e millénaire av. J.-C. (-1700 ± 100) les Babyloniens connaissaient la valeur 1 + 24 × 60^-1 + 51 × 60^-2 + 10 × 60^-3  =  30547 ÷ 21600  =  1, 414 21296.   (Cf. la tablette YBC 7289.)
Puisque √2 ÷ (30547 ÷ 21600)  ≈  1, 000 000 424 ;  il s'en suit que la précision du calcul de la racine carrée de deux par les Babyloniens est donc supérieure à un demi-millionième, soit de six décimales.
Les Babyloniens attribuèrent donc à l'hypoténuse de leur coudée de Nippur exactement 42,42638 doigts, comme un autre nombre inscrit sur la tablette l'indique, (vs. réellement environ 42,426407 doigts).
En millimètres et en partant de la valeur sept-lisse de leur coudée, son hypoténuse soit (518,616 × (30547 ÷ 21600) =) 733,43347 mm exactement, contre quelques 733,4337808637 mm réellement.
En clair :  Il y a près de quatre mille ans, les Babyloniens sous-évaluèrent les diagonales de leur coudée carrée de moins de 310,864 nanomètres, seulement !

Le besoin d'exactitude des arpenteurs fut commandé par leur besoin de précision en pratique. Une bonne lissité fut plus importante pour la commodité de leur calculs que le besoin d'une précision absolue.
Le nombre ci-haut 30547, facteur de l'excellente approximation babylonienne, égale 11 fois 2777, donc un nombre 2777-lisse, est malheureusement d'une très mauvaise lissité, voire d'une lissité exécrable.

Tôt, plusieurs approximations bien lisses de racine carrée de deux furent évaluées par les arpenteurs, cf. les méthodes d'approximation de racine carrée de deux.

Fraction	Lissité factorielle	Erreur relative	Attestation de l'emploi des différentes approximations de la racine carrée de deux	Ratio arrondi (précision)
3 ÷ 2	trois-lisse	+ 6,0660 %	Fut jamais employé, car indiscutablement trop imprécis pour tous les besoins pratiques.	3600
7 ÷ 5	sept-lisse	– 1,0051 %	En Égypte Ancienne au début du IIIe millénaire av. J.-C., cf. Remen de construction.	600
17 ÷ 12	dix-sept-lisse	– 0,1735 %	Jamais employé. Facteur premier relativement élevé, beaucoup moins précis que 99 : 11.	100
99 ÷ 70	onze-lisse	+ 0,0051 %	Souvent employé par les arpenteurs jusqu'à la veille de l'histoire contemporaine.	3

 Les autres approximations connues, telles que 41 ÷ 29, 239 ÷ 169, 577 ÷ 408, impliquent de facteurs premiers élevés. L'approximation 99 ÷ 70 reste satisfaisante.
 Exemple :  En supposant que les cathètes d'un demi-carré mesurent exactement 99 cm, l'hypoténuse ne dépasse la longueur de 140 cm que de ca. 71,437 µm.

Les perches onze-lisses

Lorsque le brillant mathématicien Théon de Smyrne théorisa les méthodes numériques d'approximation de racine carrée de deux, la très satisfaisante approximation onze-lisse 99 ÷ 70 était déjà connue et pratiquée depuis des siècles, voire des millénaires.
Elle continua à être employé jusqu'à la veille de l'histoire contemporaine. Si de dizaines d'exemples de perches et d'autres mesures de longueur onze-lisses pourraient être cités, les deux exemples les plus éminents sont sans doute :

• La perche anglaise  de (2 × 99 =) 198 pouces anglaises, soit 5½ verges égalent 16½ pieds  ou  5,0292 mètres.
• La perche française des arpenteurs  de 22 pieds de roi, soit (22 × 9000 ÷ 27,706 mm) environ  7,1465 mètres.

Le facteur onze, inscrit dans la définition de ces deux perches même, les rendirent apte, afin de pouvoir profiter de la triangulation rationnelle du carré, via la très bonne approximation √2 ≈ 99 ÷ 70.

La dérivation des mesures

La triangulation rationnelle du carré joua tout naturellement un rôle prépondérant dans la dérivation des mesures les unes des autres. Ainsi le carré d'une triple-aune romaine engendra directement la perche anglaise :  (3 × (4 × 296⅓) ÷ 70) × 99  =  5029,2 millimètres.
Similairement, un demi-carré de cinq pieds rhénans et demi d'hypoténuse mesure quatre pieds anglais de cathètes et engendre en même temps le doigt du pied espagnol.

Voir aussi

• Les unités de mesure romaines (Longueur)
• Les unités de mesure anciennes (France) (Longueur)
• Les unités de mesure anciennes (France) (Superficie)
• Les unités de mesure anciennes (Espagne)
• Les unités de mesure anglo-saxonnes