Unité (théorie des anneaux)

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, le groupe des unités est une notion de la théorie des anneaux. Il est constitué de l'ensemble des éléments de l'anneau ayant un inverse pour la deuxième loi. On l'appelle parfois groupe des inversibles.

Le groupe des unités est largement utilisé dans toute la théorie des anneaux. Dans le cas particulier de l'anneau des entiers algébriques d'un corps de nombres algébriques, ce groupe a une structure bien connue, grâce au théorème des unités de Dirichlet. Il fait partie, comme le groupe des classes, des invariants importants des corps de nombres, et intervient souvent dans leur étude, notamment en cohomologie galoisienne.

Sommaire 1 Motivation 2 Définitions et propriétés 2.1 Groupe des unités 2.2 Divisibilité 3 Exemples 3.1 Entier relatif 3.2 Polynôme 3.3 Entier de Gauss 3.4 Entier algébrique 3.5 Anneau cyclique

Motivation

Dans un anneau commutatif unitaire A, un multiple d'un élément a est un produit de a par un élément b. L'ensemble des multiples de a, noté aA, est l'idéal principal engendré par a. Le comportement de a vis-à-vis de la loi produit dépend des propriétés de l'idéal qu'il engendre. Des exemples sont donnés par les notions d'élément irréductible ou d'élément premier.

Si b est un élément de A, alors pour tout u inversible dans A, les éléments a  =  ub et b engendrent le même idéal principal. Les propriétés de divisibilité ne permettent pas de distinguer a et b : ils sont dits associés. Par exemple, dans l'anneau Q[X] des polynômes à coefficients rationnels, les polynômes X²  +  1 et 2.X²  +  2 sont associés. Ces deux polynômes, qui sont tous deux irréductibles sur Q, divisent X⁴-1. L'unicité de la décomposition en facteurs premiers ne peut être assurée que si l'on associe les deux polynômes pour ne les considérer que comme un unique représentant.

Les pgcd et ppcm se définissent aussi à partir des idéaux principaux et modulo multiplication par un inversible. Par exemple, dans un anneau commutatif A, "le" ppcm de a et de b est bien défini si l'intersection des idéaux engendrés par a et b est un idéal principal ; et tout élément qui l'engendre est un ppcm de a et de b.

Dans la mesure du possible, on utilise un unique représentant d'une classe d'éléments associés. Par exemple, pour les polynômes on ajoutera la condition unitaire pour définir un polynôme irréductible (c’est-à-dire que son monôme dominant est égal à un). Pour Z l'ensemble des entiers relatifs, un nombre est dit premier s'il est positif, on ne considère jamais le représentant négatif, même s'il existe toujours.

Définitions et propriétés

Groupe des unités

Dans un anneau unitaire, un élément est dit inversible si, par définition il admet un inverse pour la loi de multiplication. On parle aussi d'unité de l'anneau. L'ensemble des éléments inversibles d'un anneau A est appelé groupe des unités ou groupe des inversibles. Cet ensemble, noté U(A), est une partie de A stable par multiplication et passage à l'inverse. La multiplication de A induit donc une loi de groupe sur U(A).

Quand l'anneau est un corps, on parle aussi parfois du groupe multiplicatif.

L'image d'une unité par un homomorphisme d'anneaux est inversible. Par conséquent, un homomorphisme d'anneaux f de A dans B (anneaux unitaires) induit un morphisme de groupes de U(A) dans U(B). En théorie des catégories, on pourrait interpréter ce fait comme un foncteur de la catégorie des anneaux unitaires dans la catégorie des groupes, mais oublions.

En particulier, si C est un sous-anneau unitaire de A, alors son groupe des unités U(C) est un sous-groupe de U(A).

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Divisibilité

Dans un anneau unitaire, x est dit associé à y si il existe un inversible u tel que x  =  uy. C'est une relation d'équivalence. On peut remarquer que le groupe des unités U(A) agit sur A par multiplication à gauche. Les orbites de cette action de groupes sont précisément les classes d'éléments associés.

Il existe une relation de préordre appelée division définie de la manière suivante :

x divise y si et seulement si il existe un élément a de l'anneau tel que y = ax.

(C'est une relation binaire réflexive et transitive.)

La relation d'associativité est congruente à la division au sens où:

Pour x et v associés, pour y et w associés, alors x divise y ssi v divise w.

Pour un anneau intègre, si x divise y et y divise x alors x et y sont associés. Par passage au quotient, la division induit alors une relation d'ordre sur les classes d'éléments associés.

• L'application du quotient de l'anneau par la relation d'association, muni de la relation de divisibilité dans l'ensemble des idéaux de l'anneau ordonné par la relation ⊃ est un isomorphisme.

Cette proposition signifie deux propriétés : a et b, deux éléments de l'anneau engendrent le même idéal si, et seulement si, a et b sont associés, de plus aA contient bA si, et seulement si, a divise b.

Exemples

Entier relatif

Le groupe des unités pour l'anneau des entiers relatifs est composé des deux éléments 1 et -1. L'anneau est principal, donc tout idéal non nul admet exactement deux antécédents par l'application qui à un élément a associe a.Z. Les deux antécédents sont a et -a.

Pour éviter l'ambiguïté, on ne parle donc que du représentant positif. Ainsi un nombre premier (comme l'anneau est principal, la notion d'irréductibilité et celle de primalité sont confondus et on ne parle en général que nombre premier) dans Z est par convention toujours positif, un pgcd ou un ppmc sont aussi par définition toujours positifs. Ce choix permet d'obtenir sans ambiguïté une décomposition en facteurs premiers unique à une permutation près, à la différence du cas des entiers positifs, la décomposition contient en plus un facteur choisi dans le groupe des unités, soit 1 soit -1.

Polynôme

Dans le cas où les coefficients du polynôme sont dans un corps K, alors le groupe des unités est égal à K*, aucune convention analogue au cas précédent ne lève l'ambiguïté.

Comme précédemment, l'anneau est principal, les notions de polynôme élément premier et élément irréductible sont encore confondues. La tradition impose d'utiliser le terme d'irréductible. Un polynôme est dit irréductible si, et seulement si, toute décomposition en deux facteurs contient une unité et s'il n'est pas constant.

Cependant toute classe d'équivalence de la relation d'association contient un unique polynôme unitaire, c’est-à-dire un polynôme dont le monôme dominant est égal à 1. Ainsi, on appelle en général ppmc et pgcd le polynôme unitaire générateur de l'idéal, ainsi l'unicité est encore présente. De même, le théorème de la décomposition en facteurs premiers est en général exprimé en termes de polynôme unitaire irréductible et l'unicité à l'ordre des éléments près est rétablie. Cette décomposition contient un facteur supplémentaire élément de K*.

Dans le cas ou les coefficients du polynôme sont choisi dans Z, alors le groupe de l'unité est égal à {1, -1}. Il est d'usage de prendre une convention analogue au cas des entiers relatifs. Ainsi le polynôme irréductible d'une décomposition en facteur premier, un ppmc ou un pgcd est choisi avec un monôme dominant positif. Cette convention n'est pas générale.

Dans le cas ou le polynôme est à coefficients dans un anneau quelconque, alors aucune convention ne normalise un représentant canonique d'une classe d'association.

Entier de Gauss

Les entiers de Gauss forment un anneau euclidien, donc principal. On parle indifféremment de nombre premier de Gauss ou d'entier irréductible. Le groupe des unités contient quatre éléments {1,-1,i,-i}. Aucune convention particulière n'est prise.

Ainsi un entier de Gauss et dit irréductible si, et seulement si toute division en deux facteurs contient une unité et qu'il n'est pas élément du groupe des unités. 3, -3, 3i et -3i sont appelés nombres premiers de Gauss. Si a et b sont deux entiers de Gauss, alors il existe quatre représentants pour les pgcd et les ppmc.

L'unicité de la décomposition en facteurs premiers s'exprime aux facteurs du groupe de l'unité près.

Entier algébrique

Dans le cas général, les entiers algébriques ne disposent que d'une structure d'anneau de Dedekind, l'anneau n'est ni euclidien ni principal ni même factoriel. L'ambiguïté est donc de peu de conséquences et tout représentant (quand il existe) d'un l'idéal est réputé posséder les propriétés de l'idéal. Ainsi un entier algébrique est irréductible si, et seulement si, son idéal l'est, indépendamment de son représentant dans la classe d'association.

Le théorème des unités de Dirichlet montre l'existence de plusieurs éléments inversibles dans la plupart des anneaux d'entiers algébriques. L'égalité (√5 + 2)(√5 − 2) = 1 est un exemple.

Dans le cas d'un anneau local, ce groupe est facile à décrire : c'est très exactement le complémentaire de l'unique idéal maximal. La théorie des nombres sur un corps local s'en trouve simplifiée, par rapport à sa version globale.

Anneau cyclique

L'anneau cyclique Z/nZ possède pour groupe des unités l'ensemble des générateurs du groupe. Son cardinal est égal à l'indicatrice d'Euler.

Dans le cas où n est premier, l'anneau est le corps F_p, le groupe des unités est isomorphe au groupe cyclique à n - 1 éléments (cf groupe cyclique).

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