Inegalite de Bessel

L'espace vectoriel F engendré par la famille (e_i) est de dimension finie, il est donc complet, (cf Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie). Par conséquent, comme un espace vectoriel est convexe, les hypothèses du théorème de projection sur un convexe fermé sont vérifiées et il existe une application p, qui à un vecteur de E associe sa meilleure approximation dans F, c'est à dire sa projection orthogonale.

Soit x_i les coordonnées du vecteur p(x) dans la base (e_i). On remarque que le vecteur de coordonnées x_i - <p(x), e_i> est orthogonal à tous les vecteurs de la base (e_i), et à F tout entier. Ce vecteur est donc nul, on en déduit l'égalité :

Notons y le vecteur x - p(x), le théorème de la projection montre que y est orthogonal à x, on en déduit :

Comme la famille (y, e₁, ..., e_n) est orthogonale, l'égalité suivante est vérifiée :

L'égalité n'a lieu que si y est nul, c'est à dire si x est un élément de F.

• Démonstration du cas général :

Soit J une sous-famille finie de I. Le résultat du paragraphe précédent montre que :

Ce résultat est vrai quelle que soit la sous-famille finie J de I. Ce qui montre la convergence absolue de la série et la majoration de l'énoncé. Toute série absolument convergente contient au plus un ensemble dénombrable de termes non nuls. En effet, si n est un entier strictement positif, l'ensemble des termes en valeur absolue ou en module strictement supérieurs à 1/n est fini, l'union de tous ces ensembles est nécessairement dénombrable car union dénombrable d'ensembles finis.

Si l'égalité à lieu, alors soit ε un réel strictement positif, il existe une sous-famille finie J de I tel que

Soit F_J le sous-espace vectoriel engendré par la famille (e_j) avec j élément de J et p_J la projection orthogonale sur F_J. La démonstration du paragraphe précédent montre que :

Ce qui montre l'existence d'un vecteur p_F(x) de l'espace vectoriel engendré par la famille à une distance inférieure à la racine carrée de ε, on en déduit que x est bien élément de l'adhérence recherchée.

Réciproquement, si x est élément de l'adhérence de l'espace vectoriel engendré par la famille, alors il existe une sous-famille finie J de I tel que la distance de x à l'espace engendré par la sous-famille est inférieure à ε. Cette distance est égale à la norme de x - p_J(x) et montre que la différence entre le carré de la norme de x et la somme de la série est inférieure au carré de ε et permet donc de conclure.

• Démonstration de l'égalité suivante :

Soit F l'ensemble des sous-familles finies de I. La démonstration précédente montre que :

Ce qui démontre l'égalité recherchée.

• Démonstration de l'unicité de l'écriture de x :

Il suffit de démontrer l'unicité de l'écriture du vecteur nul. Soit (λ_i) une famille de scalaire telle que la série suivante converge vers le vecteur nul :

Soit i₀ un élément de I. Alors, l'inégalité de Bessel sur la famille {i₀} montre que la norme du vecteur nul est supérieur au carré du module de λ_i0. On en déduit que λ_i0 est le scalaire nul. Ce raisonnement s'applique pour toutes les coordonnées du vecteur nul et démontre qu'il n'existe qu'une unique écriture du vecteur nul dans la famille (e_i), à savoir la série de terme général nul, ce qui démontre l'unicité.