Théorème du point fixe de schauder

Théorème du point fixe de Schauder

Le théorème de Schauder, prouvé en 1930 par le mathématicien polonais Juliusz Schauder est un puissant théorème du point fixe intervenant dans la démonstration de l'existence de solutions à une équation différentielle.

Énoncé

Soit $E$ un espace vectoriel normé sur $\mathbb{R}$ , $\mathcal{C}$ une partie non vide de $E$ , convexe, fermée et bornée.

Si $T$ est une application continue de $C$ dans $C$ telle que $T (C)$ soit relativement compact, alors $T$ a un point fixe

Preuve

Notons $||\cdot||_E$ la norme de $E$ .

Soit $\varepsilon > 0$ . $T (C)$ étant une partie relativement compacte de $C$ , il est précompact, on peut donc recouvrir $T (C)$ à l'aide d'un nombre fini de boules de rayon $\varepsilon$ . Autrement dit, il existe $N_\varepsilon$ un nombre entier, et $e_1^\varepsilon, \dots, e_{N_\varepsilon}^\varepsilon$ dans $C$ tels que :

$T(C) \subset \bigcup_{1 \leq i \leq N_\varepsilon} B_{E,||\cdot||_E}^{\prime} \Big( e_i^\varepsilon, \frac{\varepsilon}{2}\Big)$

On définit alors pour tout $i \in \{1, 2, \dots, N_{\varepsilon}\}$ l'application $π i,ε$ de $C$ dans $\mathbb{R}$ par :

$\forall e \in C, \pi_{i,\varepsilon} (e) = \max \Big(0, \varepsilon - ||T(e) - e_i^\varepsilon||_E\Big)$

Chacune de ces applications est bien continue. On définit alors l'application continue $T_\varepsilon$ par :

$\forall e \in C, T_\varepsilon(e) = \frac{\sum_{i=1}^{N_\varepsilon} \pi_{i,\varepsilon}(e)e_i^\varepsilon}{\sum_{i=1}^{N_\varepsilon} \pi_{i,\varepsilon}(e)}$

Tout d'abord, cette formule est bien définie, car le dénominateur n'est jamais nul. En effet, $T (e)$ est dans l'une des boules $B_{E,||\cdot||_E}^{\prime} \Big( e_i^\varepsilon, \frac{\varepsilon}{2}\Big)$ et donc pour ce $i$ , $\pi_{i,\varepsilon}(e) > 0$ .

Par ailleurs $\sup_{e \in C} ||T_\varepsilon(e) - T(e)||_E \leq \varepsilon$ . En effet, en notant $J = \{i \in \{1, \dots, N_\varepsilon \}, \pi_{i , \varepsilon}(e) \neq 0\}$ , on vérifie que si $i \in J$ , $\varepsilon - ||T(e) - e_i^\varepsilon||_E > 0$ et :

$||T_\varepsilon(e) - T(e)||_E \leq \Big( \sum_{i \in J} \pi_{i,\varepsilon}(e) \Big)^{-1} \Big( \sum_{i \in J} \pi_{i,\varepsilon}(e) ||e_i^\varepsilon - T(e)||_E\Big) \leq \varepsilon$

Posons alors $H_\varepsilon = C \cap (\mathbb{R}e_1^\varepsilon + \cdots + \mathbb{R}e_{N_\varepsilon}^\varepsilon)$ . La définition même de $T_\varepsilon$ nous assure que $T_\varepsilon(H_\varepsilon) \subset H_\varepsilon$ .

$H_\varepsilon$ est un sous-ensemble fermé, borné, convexe, symétrie, inclus dans le sous-espace $G = \textrm{vect} H_\varepsilon$ de dimension finie $P \leq N_\varepsilon$ . On peut donc extraire de $H_\varepsilon$ une base $(e_1, \dots, e_P)$ de $G$ . Supposons à présent que $H_\varepsilon$ contient plus de deux éléments. Alors $P \geq 1$ . Montrons que 0 est à l'intérieur de $H_\varepsilon$ , considéré en tant que partie de $G$ . Les normes sur $G$ étant équivalentes ( $G$ est de dimension finie), on peut considérer la norme $N$ définie par $N\Big(\sum_{1 \leq i \leq P} x_ie_i\Big) = \sum_{1 \leq i \leq P} |x_i|$ . Si $N(x) \leq 1$ , on peut écrire $x = \sum_{i=1}^P x_ie_i$ , où $\sum_{i=1}^P |x_i| \leq 1$ . Posons alors $x i = δ i | x i |$ , où $\delta_i = \pm 1$ , alors $x = \sum_{i=1}^P |x_i| (\delta_i e_i)$ , donc $x$ est barycentre convexe des $δ i e i$ qui sont dans $H_\varepsilon$ (on rappelle que $H_\varepsilon$ est symétrique et convexe). Il en résulte que $H_\varepsilon$ contient la boule pour $N$ de centre 0 et de rayon 1. 0 est bien à l'intérieur de $H_\varepsilon$

On définit l'application $ρ$ de $G$ dans $\mathbb{R}^+$ par la formule :

$\forall a \in G, \rho(a) = \inf \Big\{ \eta \in \R_+^*, \frac{1}{\eta} a \in H_\varepsilon \Big\}$

Tout d'abord, comme $0$ appartient à l'intérieur de $G$ , la fonction $ρ$ est bien définie. On montre (par un raisonnement fastidieux, mais non difficile) que c'est une norme pour $G$ , dont la boule unité n'est rien d'autre que $H_\varepsilon$ . Ainsi $H_\varepsilon$ est homéomorphe à la boule unité de $\mathbb{R}^P$ (dans le cas où $P = 0$ , c'est évident), et l'application directe du théorème du point fixe de Brouwer dit qu'il existe un vecteur $e_\varepsilon \in H_\varepsilon$ tel que $T_\varepsilon(e_\varepsilon) = e_\varepsilon$ .

On peut appliquer tout ce long raisonnement pour $\varepsilon = \frac{1}{n+1}$ , on dispose alors d'une suite d'éléments $(x n)$ de C tels que :

$T_{\frac{1}{n+1}}(x_n) = x_n$

D'autre part, on sait que $\Big|\Big| T_{\frac{1}{n+1}}(x_n) - x_n \Big|\Big| \leq \frac{1}{n+1}$ . Comme $T (C)$ est relativement compact, $\overline{T(C)}$ est compact, on peut extraire de $(T (x n))$ une sous-suite $(T σ(n))$ convergente. Notons $e$ sa limite, on a alors $\lim_{n \to \infty} T_{\frac{1}{\sigma(n+1)}}(x_{\sigma(n)}) = e$ donc $T (e) = e$ . $e$ est bien dans $C$ car $\overline{T(C)} \subset \overline{C} = C$ .

Référence

Écoles normales supérieures. Sujet commun Paris-Lyon. 1998.

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