Théorème des bornes

Théorème des bornes
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En mathématiques, et plus précisément en analyse réelle, le théorème des bornes ou théorème des bornes atteintes[1] ou théorème de Weierstrass stipule qu'une fonction continue sur un segment est d'image bornée et atteint ses bornes. Autrement dit, une telle fonction possède un minimum et un maximum sur ce segment.

Ce résultat peut être démontré par la compacité des segments réels, mais repose plus fondamentalement sur la propriété de la borne supérieure.

La fonction atteint ses bornes en c et d

Sommaire

Énoncé

Soient f une fonction définie sur un intervalle [a;b] de réels et à valeurs réelles. Si f est continue, alors la fonction f est bornée et atteint ses bornes, autrement dit il existe deux réels c et d de l'intervalle [a;b] tels que pour tout x de [a;b], les inégalités suivantes soient vérifiées :
f(c)\le f(x) \le f(d).

A priori, les valeurs de c et d ne sont pas uniques et rien n'indique que c soit inférieur ou supérieur à d.

Remarques

Ce théorème, avec le théorème des valeurs intermédiaires, est à la fois suffisamment important pour qu'il soit impératif à la compréhension de la théorie des fonctions réelles de la variable réelle et suffisamment complexe pour que sa démonstration soit omise dans les cours élémentaires (il n'est démontré que dans l'enseignement supérieur en France). Si leurs démonstrations sont complexes c'est qu'elles font nécessairement appel à la topologie du corps des nombres réels.

Il apparait dans les cours de Weierstrass (1861) mais il a été démontré précédemment par Bolzano dans son traité Rein analytischer Beweis de 1817 à l'aide de la propriété de la borne supérieure (il admet seulement le critère de Cauchy pour la convergence des suites)[2].

Comme beaucoup de théorèmes fondés sur la topologie, il est intuitif. Il signifie que toute fonction continue atteint son maximum et son minimum si elle est définie sur un intervalle qui contient sa borne supérieure et inférieure.

La topologie fournit deux théorèmes qui rendent la démonstration évidente. Sans la topologie, la démonstration est relativement délicate pour un résultat aussi intuitif. Nous fournissons ici les deux démonstrations, la première car c'est la plus élégante et la deuxième pour éviter de rendre la topologie nécessaire pour bâtir une des théories de base des mathématiques, à savoir l'analyse des fonctions réelles à variable réelle.

On verra, dans les démonstrations, l'importance de se placer dans un intervalle fermé borné et de prendre une fonction continue.

Application

Ce théorème est utilisé pour la démonstration du théorème de Rolle qui sert à démontrer le théorème des accroissements finis qui sert à l'analyse en développement limité d'une fonction et du théorème de Taylor.

Démonstration topologique

L'intervalle [a,b] est un ensemble fermé et borné de \R. Par le théorème de Borel-Lebesgue, cet ensemble est donc un compact de \R. Or l'image par une fonction continue d'un compact dans un séparé est un compact. L'image f([a,b]) est donc un compact de \R. Cette image est donc bornée (si bien qu'elle possède une borne supérieure et inférieure finies) et fermée (si bien qu'elle contient ces deux bornes).

Démonstration sans les théorèmes topologiques

Notons M la borne supérieure de l'ensemble f ( [a,b] ) (au sens large a priori, c'est-à-dire que le supremum d'un ensemble de réels non majoré vaut +\infty), et prouvons qu'elle est atteinte (donc en fait finie).

(Le résultat pour la borne inférieure s'en déduit en remplaçant f par -f, ou se démontre de même).

Par définition de M, il existe une suite de réels x_n \in [a,b] telle que

f(x_n) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} M\ .

D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass version réelle, comme (x_n)_{n \in \N} est bornée, elle possède une sous-suite convergente

x_{\varphi(n)} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} d\in [a,b]\ ,

et comme f est continue au point d, on a

f(x_{\varphi(n)}) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} f(d)\ ,

si bien que M = f ( d ).

Notes et références

  1. ↑ Voir par exemple L. Esch, Mathématique pour économistes et gestionnaires (2006) De Boeck Université (ISBN 9782804151966) p. 130, ou A. K. Ben-Naoum, Analyse : premières notions fondamentales (2007) Presses univ. de Louvain (ISBN 9782874630811) p. 72
  2. ↑ Jan Sebestik, Logique et mathématique chez Bernard Bolzano, p.407

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