Théorème de la moyenne

Théorème de la moyenne

En analyse réelle, le théorème de la moyenne est un résultat classique concernant l'intégration des fonctions continues d'une variable réelle, selon lequel la moyenne d'une fonction continue sur un segment se réalise comme valeur de la fonction.

Sommaire

Énoncé

Plus précisément :

Énoncé — Pour toute fonction f à valeurs réelles, définie et continue sur un segment [a,b], avec a<b, il existe un réel c strictement compris entre a et b vérifiant :

f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x\ .

L'intégrale est ici définie au sens de Riemann.

Remarques

  • Graphiquement, une interprétation de ce théorème est que l'aire algébrique sous la courbe représentative de f est égale à celle d'un rectangle de base [a,b], et de hauteur un point moyen de la courbe.
  • Ce théorème s'étend aux fonctions réelles de plusieurs variables sur un domaine compact et connexe par les intégrales multiples.
  • Le point c ne dépend pas continûment de f. Le théorème de la moyenne énonce l'existence d'un réel c mais ne donne aucune information sur sa dépendance en la fonction f.
  • L'hypothèse de continuité est essentielle. Par exemple pour [a,b]=[0,1] en posant f(x)=1 si x<1/2 et f(x)=0 sinon, la valeur moyenne de f vaut 1/2 donc n'est pas réalisée comme valeur de f.

Démonstrations

Par le théorème des accroissements finis

En utilisant le théorème fondamental de l'analyse, ou alors en court-circuitant la théorie de l'intégrale de Riemann et en prenant, comme définition de l'intégrale d'une fonction continue sur un intervalle, la variation sur cet intervalle de l'une quelconque de ses primitives (donc en admettant qu'il en existe), le théorème de la moyenne devient une simple reformulation du théorème des accroissements finis.

En effet, si F est une primitive de f, alors le théorème des accroissements finis pour F fournit l'existence d'un réel c strictement compris entre a et b tel que

F'(c)=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}\ ,

ce qui est le résultat souhaité puisque F'=f\, et F(b)-F(a)=\int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x\ .

Démonstration directe

Si f est constante sur [a,b], le théorème est immédiat. Excluons désormais ce cas. D'après le théorème des bornes et le théorème des valeurs intermédiaires, l'image par f du segment [a,b] est un segment [α,β] avec α<β, et l'image de l'intervalle ouvert ]a,b[ est un intervalle inclus dans ce segment et qui n'en diffère que par au plus deux points, donc

]\alpha,\beta[\subset f(]a,b[)\ .

Notons m la moyenne :

m=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\mathrm dx\ ,

dont il s'agit de prouver qu'elle appartient à f(]a,b[). Il suffit donc de montrer que α < m < β, c'est-à-dire de vérifier que

(b-a)\alpha<\int_a^bf(x)\mathrm dx<(b-a)\beta\ .

Montrons par exemple la première inégalité stricte (le raisonnement pour la seconde est analogue). On a déjà au moins l'inégalité large, puisque sur [a,b], f est minorée par α. Pour affiner, choisissons un réel γ quelconque strictement compris entre α et β. Il existe un intervalle de longueur r non nulle sur lequel f reste assez proche de β pour être minorée par γ, si bien que

\int_a^bf(x)\mathrm dx\ge r\gamma+(b-a-r)\alpha>(b-a)\alpha\ ,

ce qui termine la démonstration.


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de la moyenne de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Theoreme de la moyenne — Théorème de la moyenne En analyse réelle, le théorème de la moyenne est un résultat classique concernant l intégration des fonctions continues d une variable réelle. La moyenne d une fonction continue sur un segment se réalise comme valeur de la… …   Wikipédia en Français

  • théorème de la moyenne — vidutinės vertės teorema statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. mean value theorem vok. Mittelwertsatz, m rus. теорема о среднем значении, f pranc. théorème de la moyenne, m …   Fizikos terminų žodynas

  • Theoreme de la moyenne de Cauchy — Théorème de la moyenne de Cauchy Pour les articles homonymes, voir Cauchy. Soient f et g deux fonctions continues sur [a,b] et différentiables sur ]a,b[. Si la dérivée g ne s annule pas sur ]a,b[, alors il existe . Ce théorème permet de démontrer …   Wikipédia en Français

  • Théorème de la moyenne de Cauchy — Pour les articles homonymes, voir Cauchy. Soient f et g deux fonctions continues sur [a,b] et différentiables sur ]a,b[. Si la dérivée g ne s annule pas sur ]a,b[, alors il existe . Ce théorème permet de démontrer la règle de l Hôpital …   Wikipédia en Français

  • Théorème de la moyenne de cauchy — Pour les articles homonymes, voir Cauchy. Soient f et g deux fonctions continues sur [a,b] et différentiables sur ]a,b[. Si la dérivée g ne s annule pas sur ]a,b[, alors il existe . Ce théorème permet de démontrer la règle de l Hôpital …   Wikipédia en Français

  • Théorème de WICK — Le théorème de Wick est un outil particulièrement important de la physique statistique, dans la mesure où il permet de calculer des valeurs moyennes d observables compliquées, par exemple des corrélations ou des interactions à plusieurs… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de wick — Le théorème de Wick est un outil particulièrement important de la physique statistique, dans la mesure où il permet de calculer des valeurs moyennes d observables compliquées, par exemple des corrélations ou des interactions à plusieurs… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme des accroissements finis — Théorème des accroissements finis En analyse, le théorème des accroissements finis est un corollaire du théorème de Rolle. Pour toute fonction continue et dérivable d une variable réelle, son accroissement entre deux valeurs est réalisable comme… …   Wikipédia en Français

  • Théorème des accroissements finis généralisé — Théorème des accroissements finis En analyse, le théorème des accroissements finis est un corollaire du théorème de Rolle. Pour toute fonction continue et dérivable d une variable réelle, son accroissement entre deux valeurs est réalisable comme… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Wick — Le théorème de Wick est un outil particulièrement important de la physique statistique, dans la mesure où il permet de calculer des valeurs moyennes d observables compliquées, par exemple des corrélations ou des interactions à plusieurs… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”