Théorème de la moyenne

Théorème de la moyenne

En analyse réelle, le théorème de la moyenne est un résultat classique concernant l'intégration des fonctions continues d'une variable réelle, selon lequel la moyenne d'une fonction continue sur un segment se réalise comme valeur de la fonction.

Sommaire

Énoncé

Plus précisément :

Énoncé — Pour toute fonction f à valeurs réelles, définie et continue sur un segment [a,b], avec a<b, il existe un réel c strictement compris entre a et b vérifiant :

f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x\ .

L'intégrale est ici définie au sens de Riemann.

Remarques

  • Graphiquement, une interprétation de ce théorème est que l'aire algébrique sous la courbe représentative de f est égale à celle d'un rectangle de base [a,b], et de hauteur un point moyen de la courbe.
  • Ce théorème s'étend aux fonctions réelles de plusieurs variables sur un domaine compact et connexe par les intégrales multiples.
  • Le point c ne dépend pas continûment de f. Le théorème de la moyenne énonce l'existence d'un réel c mais ne donne aucune information sur sa dépendance en la fonction f.
  • L'hypothèse de continuité est essentielle. Par exemple pour [a,b]=[0,1] en posant f(x)=1 si x<1/2 et f(x)=0 sinon, la valeur moyenne de f vaut 1/2 donc n'est pas réalisée comme valeur de f.

Démonstrations

Par le théorème des accroissements finis

En utilisant le théorème fondamental de l'analyse, ou alors en court-circuitant la théorie de l'intégrale de Riemann et en prenant, comme définition de l'intégrale d'une fonction continue sur un intervalle, la variation sur cet intervalle de l'une quelconque de ses primitives (donc en admettant qu'il en existe), le théorème de la moyenne devient une simple reformulation du théorème des accroissements finis.

En effet, si F est une primitive de f, alors le théorème des accroissements finis pour F fournit l'existence d'un réel c strictement compris entre a et b tel que

F'(c)=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}\ ,

ce qui est le résultat souhaité puisque F'=f\, et F(b)-F(a)=\int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x\ .

Démonstration directe

Si f est constante sur [a,b], le théorème est immédiat. Excluons désormais ce cas. D'après le théorème des bornes et le théorème des valeurs intermédiaires, l'image par f du segment [a,b] est un segment [α,β] avec α<β, et l'image de l'intervalle ouvert ]a,b[ est un intervalle inclus dans ce segment et qui n'en diffère que par au plus deux points, donc

]\alpha,\beta[\subset f(]a,b[)\ .

Notons m la moyenne :

m=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\mathrm dx\ ,

dont il s'agit de prouver qu'elle appartient à f(]a,b[). Il suffit donc de montrer que α < m < β, c'est-à-dire de vérifier que

(b-a)\alpha<\int_a^bf(x)\mathrm dx<(b-a)\beta\ .

Montrons par exemple la première inégalité stricte (le raisonnement pour la seconde est analogue). On a déjà au moins l'inégalité large, puisque sur [a,b], f est minorée par α. Pour affiner, choisissons un réel γ quelconque strictement compris entre α et β. Il existe un intervalle de longueur r non nulle sur lequel f reste assez proche de β pour être minorée par γ, si bien que

\int_a^bf(x)\mathrm dx\ge r\gamma+(b-a-r)\alpha>(b-a)\alpha\ ,

ce qui termine la démonstration.


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de la moyenne de Wikipédia en français (auteurs)

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