Théorème des accroissements finis généralisé

Théorème des accroissements finis généralisé

Théorème des accroissements finis

Accroissements finis.svg

En analyse, le théorème des accroissements finis est un corollaire du théorème de Rolle. Pour toute fonction continue et dérivable d'une variable réelle, son accroissement entre deux valeurs est réalisable comme pente d'une de ses tangentes. Plus précisément :

Énoncé : Pour toute fonction à une variable réelle f : [a, b] → \R (a et b réels tels que a < b), supposée continue sur l'intervalle fermé [a, b] et dérivable sur l'intervalle ouvert ]a, b[, le théorème des accroissements finis annonce l'existence d'un réel c strictement compris entre a et b vérifiant :

f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

En effet, sous ces hypothèses, la fonction g:x \mapsto f(x)-f(a) - {f(b)-f(a) \over b-a} \times (x-a) prend la même valeur en a et en b. En lui appliquant le théorème de Rolle, elle admet un point critique c strictement entre a et b. En ce point c, l'annulation de la dérivée implique l'égalité ci-dessus.

Graphiquement, le théorème des accroissements finis indique que, pour toute sécante d'une courbe différentiable, il existe une tangente parallèle à la sécante.

Sommaire

Inégalité des accroissements finis

Soit f : [a, b] → R une fonction à valeurs réelles (a et b réels tels que a < b). Si :

  • f est continue sur l'intervalle fermé [a, b]
  • f est dérivable sur l'intervalle ouvert ]a, b[
  • il existe k réel positif tel que, pour tout élément x de ]a, b[, |f'(x)| ≤ k,

alors \left|{{f(b)-f(a)} \over {b-a}}\right| \le k

Démonstration :

On applique le théorème des accroissements finis et on majore |f'(c)| par k.

Pour donner une image, on peut illustrer ainsi le théorème : « Si la vitesse instantanée d'un véhicule ne peut pas dépasser 120 km/h, alors sa vitesse moyenne non plus. »

Théorème des accroissements finis généralisé

Ce théorème s'applique dans le cas de deux fonctions continues sur [a ; b] , dérivables sur ]a ; b[. Il stipule qu'il existe un réel c de l'intervalle ]a ; b[ tel que

(f(b) - f(a))g'(c) - (g(b) - g(a))f'(c) = 0\,

Géométriquement, cette égalité signifie que toute courbe représentative d'une fonction de \R dans \R{}^2 différentiable, possède une tangente parallèle à l'une quelconque de ses cordes. Dans le cas où g' ne s'annule pas sur ]a ; b[ , l'égalité peut s'écrire

\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}

Sous cette forme, le théorème est utilisé pour démontrer la règle de L'Hôpital.

Démonstration :

On applique le théorème de Rolle à la fonction
h(t) = (f(b) - f(a))(g(t) - g(b)) - (g(b) - g(a))(f(t) - f(b))\,
La fonction h est bien continue sur [a ; b], dérivable sur ]a ; b[, et s'annule en a et b par conséquent h(a) = h(b). Donc il existe un réel c de ]a ; b[ tel que h'(c) = 0. Ce qui donne
(f(b) - f(a))g'(c) - (g(b) - g(a))f'(c) = 0\,
Si de plus g’ ne s'annule pas sur ]a ; b[, par contraposée du théorème de Rolle, on peut affirmer que g(b) \ne g(a) et il suffit de diviser par ces deux quantités pour obtenir
\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}

Théorème des accroissements finis et intégration

Le théorème des accroissements finis se reformule sous forme intégrale. Pour toutes fonctions d'une variable réelle u et v continues sur le segment [a, b], v ne s'annulant pas sur [a, b], il existe un réel c de ]a, b[ tel que

\int_a^b u(t)v(t)dt = u(c) \int_a^b v(t)dt.

L'écriture a un sens car les fonctions continues sont localement intégrables au sens de Riemann.

L'identité ci-dessus se prouve en appliquant le théorème des accroissements finis généralisé à des primitives F et V respectivement de uv et v. Comme la dérivée de V, à savoir v, ne s'annule pas par hypothèses, il existe en effet un réel c dans l'intervalle ]a, b[ vérifiant :

\frac{F(b) - F(a)}{V(b) - V(a)} = \frac{F'(c)}{V'(c)},

Ce qui se réécrit plus simplement :

\frac{\int_a^b u(t)v(t)dt}{\int_a^bv(t)dt}= \frac{u(c)v(c)}{v(c)} = u(c).

Exemple : pour une fonction v constante égale à 1, on retrouve ainsi le théorème de la moyenne : pour toute fonction continue à une variable réelle u sur le segment [a, b], il existe un réel c vérifiant :

u(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^b u(t)dt .

Dans \R^n

Soient \, f une fonction réelle dérivable sur un ouvert \Omega\in\R^n, \, x un point de \,\Omega et \,h=(h_1, ..., h_n) un point de \R^n tel que

\prod_{i=1}^n [x_i, x_i+h_i]=K\subset\Omega

alors il existe \,\xi^{(1)}, \xi^{(2)}, ...,\xi^{(n)}\in K tels que

f(x+h)-f(x)= \sum_{k=1}^n h_k\frac{\partial f}{\partial x_k}(\xi^{(k)})=\sum_{k=1}^n h_k\frac{\partial f}{\partial x_k}(x+\Delta^{(k)})

avec \,|\Delta^{(k)}|=|x-\xi^{(k)}|<|h| .

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