Theoreme des bornes

Theoreme des bornes

Théorème des bornes

La fonction atteint ses bornes en c et d

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, le théorème des bornes est un théorème qui stipule qu'une fonction qui est continue sur un segment de \R à valeurs réelle possède et atteint un minimum et un maximum sur ce segment. C'est l'un des théorèmes fondamentaux de l'analyse.


Sommaire

Énoncé

Soient a et b deux réels tels que a\leq b et soit f:[a,b]\rightarrow \R une application. Si f est continue, alors f est bornée sur [a,b] et atteint ses bornes.

Remarques

Ce théorème, avec le théorème des valeurs intermédiaires, est à la fois suffisamment important pour qu'il soit impératif à la compréhension de la théorie des fonctions réelles de la variable réelle et suffisamment complexe pour que sa démonstration soit omise dans les cours élémentaires (il n'est démontré que dans l'enseignement supérieur en France). Si leurs démonstrations sont complexes c'est qu'elles font nécessairement appel à la topologie du corps des nombres réels.

Comme beaucoup de théorèmes fondés sur la topologie, il est intuitif. Il signifie que toute fonction continue atteint son maximum et son minimum si elle est définie sur un intervalle qui contient sa borne supérieure et inférieure.

La topologie fournit deux théorèmes qui rendent la démonstration évidente. Sans la topologie, la démonstration est relativement délicate pour un résultat aussi intuitif. Nous fournissons ici les deux démonstrations, la première car c'est la plus élégante et la deuxième pour éviter de rendre la topologie nécessaire pour bâtir une des théories de base des mathématiques, à savoir l'analyse des fonctions réelles à variable réelle.

On verra, dans les démonstrations, l'importance de se placer dans un intervalle fermé borné et de prendre une fonction continue.

Application

Ce théorème est utilisé pour la démonstration du théorème de Rolle qui sert à démontrer le théorème des accroissements finis qui sert à l'analyse en développement limité d'une fonction et du théorème de Taylor.

Démonstration topologique

L'intervalle [a,b] est un ensemble fermé et ensemble borné de \R. La topologie nous apprend que cet ensemble est un compact de \R. Or l'image par une fonction continue d'un compact est un compact. L'image f([a,b]) est donc un compact de \R. L'image est donc bornée, donc possède une borne supérieure et inférieure. Et comme l'image est fermée, elle contient sa borne supérieure et sa borne inférieure.

Démonstration sans les théorèmes topologiques

1) Montrons que f est majorée sur [a,b].

Par l'absurde, supposons f non majorée sur [a,b]. Alors pour tout n \in \N, il existe x_n \in [a,b] tel que f(xn) > n.

D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass version réelle, comme (x_n)_{n \in \N} est bornée, il existe une extractrice \varphi telle que

x_{\varphi(n)} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \ell \in [a,b].

Et comme f est continue sur [a,b], on a

f(x_{\varphi(n)}) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} f(\ell).

Mais d'un autre côté, on a

\forall n \in \N,\ f(x_{\varphi(n)})>\varphi(n)\geq n,

car \varphi est une extractrice et par construction de (x_n)_{n \in \N}.

On en déduit par minoration que

f(x_{\varphi(n)}) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} + \infty.

Contradiction, donc f est majorée sur [a,b].

2) Montrons que f atteint sa borne supérieure.

Notons M la borne supérieure de f sur [a,b] (qui existe bien car f est majorée sur [a,b]).

Pour tout n \in \N^*, M − 1 / n n'est pas un majorant de f, donc il existe y_n \in [a,b] tel que

\forall n \in \N^*,\ M-\frac{1}{n} < f(y_n) \leq M.

D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass version réelle, comme (y_n)_{n \in \N^*} est bornée, il existe une extractrice σ telle que

y_{\sigma(n)} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \gamma \in [a,b].

Et comme f est continue sur [a,b], on a

f(y_{\sigma(n)}) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} f(\gamma).

Mais d'un autre côté, on a

\forall n \in \N^*,\ M-\frac{1}{\sigma(n)} < f(y_{\sigma(n)}) \leq M.

En passant à la limite, on obtient M = f(γ), ce qui montre que f atteint sa borne supérieure.

3) Montrons que f est minorée et atteint sa borne inférieure.

Il suffit d'appliquer les deux résultats précédents à l'application − f.

Voir aussi

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