Theoreme de Borel-Lebesgue

Theoreme de Borel-Lebesgue

Théorème de Borel-Lebesgue

En Topologie de \mathbb{R}^n, le théorème de Borel-Lebesgue ou de Heine-Borel établit l'équivalence entre les deux propriétés suivantes d'un ensemble A de vecteurs :

  • A est fermé et borné (A est borné s'il existe une constante positive majorant la norme de tous les éléments de A) ;
  • A vérifie la propriété de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement de A par des ouverts de \mathbb{R}^n on peut extraire un sous-recouvrement fini.

Cette seconde propriété est en fait la définition générale d'un compact en topologie : un espace est compact si et seulement s'il est séparé et a cette propriété. Le théorème de Borel-Lebesgue peut donc se lire : un sous-ensemble de \mathbb{R}^n est compact si et seulement s'il est fermé et borné.

Suite à ce théorème, beaucoup d'auteurs préfèrent définir les compacts de \mathbb{R}^n comme les ensembles fermés et bornés de vecteurs. Dans ce cas le théorème se lit : un sous-ensemble de \mathbb{R}^n est compact si et seulement si il a la propriété de Borel-Lebesgue.

Le théorème se généralise à tout espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie, mais n'est pas valable en dimension infinie. Il est traité dans l'article topologie d'un espace vectoriel de dimension finie.

Démonstration

  • Le segment [a, b] est compact :

Soit Ω un recouvrement ouvert du segment et M le sous-ensemble du segment composé des éléments m tel que le segment [a, m] admet un sous-recouvrement fini extrait de Ω. L'objectif est de montrer que M est égal au segment.

M est non vide : En effet, il existe un ouvert ω de Ω contenant a car Ω est un recouvrement du segment. En conséquence, le sous-recouvrement fini composé uniquement de l'ouvert ω contient a, ce qui montre que a est élément de M.

M est un intervalle : En effet, soit m un élément de M et m' un élément de l'intervalle d'extrémités a et m. Alors le sous-recouvrement fini contenant le segment [a, m] est aussi un sous-recouvrement fini de [a, m' ], ce qui montre que m' est aussi élément de M et donc que M est un intervalle.

M est un ensemble ouvert : En effet, soit m un élément de M et Ω' un sous-recouvrement fini contenant le segment [a, m]. Il existe un ouvert ω' de Ω' contenant m. Si p est un élément de ω', alors le segment [a, p] est recouvert par le sous recouvrement fini Ω'. En conséquence tout point p de ω' est inclus dans M, ce qui montre que M est un ouvert.

M est un ensemble fermé : Il suffit, pour montrer cette propriété, de montrer qu'il contient sa borne supérieure β. Soit ωβ un ouvert de Ω contenant β. Il existe car Ω est un recouvrement ouvert de [a, b] et β un point de ce segment. Soit c un point strictement plus petit que β et élément de ωβ. Il existe un sous-recouvrement fini Ωc de l'intervalle [a, c] car c est élément de M, par définition de β. Le sous-recouvrement formé des ouverts de Ωc et de ωβ est un sous-recouvrement fini de [a, β], ce qui montre que β est élément de M.

Le seul intervalle non vide de [a, b] à la fois ouvert et fermé est le segment [a, b] lui-même. Ceci montre que b est un élément de M. Il est possible d'extraire de Ω un sous-recouvrement fini de [a, b], ce qui montre la compacité du segment.

  • Un sous-ensemble de R non borné n'est pas compact.

Considérons le recouvrement Ω composé des intervalles ]-n, n[, où n décrit l'ensemble des entiers strictement positifs. Dire que le sous-ensemble S de R n'est pas bornée revient à dire qu'il n'est pas possible d'extraire un sous-recouvrement fini de Ω, et donc que S n'est pas compact.

  • Un compact de R est un fermé borné.

Soit C un compact de R, alors il est fermé car tout compact l'est et la proposition précédente montre qu'il est borné.

Réciproquement soit C est fermé borné de R, alors c'est un fermé d'un segment, donc d'un compact et C est compact.

  • Le produit de segments est compact dans Rn.

Ce résultat est la conséquence du théorème de Tychonoff. Il stipule que tout produit de compact est compact.

  • Les compacts de Rn sont les fermés bornés.

Soit C un compact de Rn, la démonstration sur R sur le caractère borné d'un compact s'applique encore, C est donc borné. Il est de plus fermé car tout compact l'est.

Réciproquement soit C un fermé borné de Rn, la démonstration précédente montre que c'est un fermé d'un compact, donc un compact.

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Th%C3%A9or%C3%A8me de Borel-Lebesgue ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Theoreme de Borel-Lebesgue de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Théorème de borel-lebesgue — En Topologie de , le théorème de Borel Lebesgue ou de Heine Borel établit l équivalence entre les deux propriétés suivantes d un ensemble A de vecteurs : A est fermé et borné (A est borné s il existe une constante positive majorant la norme… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Borel-Lebesgue —  Ne doit pas être confondu avec Théorème de Borel. En topologie de , le théorème de Borel Lebesgue ou de Heine Borel établit l équivalence entre les deux propriétés suivantes d un ensemble A de vecteurs : A est fermé et borné (A est …   Wikipédia en Français

  • Borel-Lebesgue — Théorème de Borel Lebesgue En Topologie de , le théorème de Borel Lebesgue ou de Heine Borel établit l équivalence entre les deux propriétés suivantes d un ensemble A de vecteurs : A est fermé et borné (A est borné s il existe une constante… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Borel —  Ne doit pas être confondu avec Théorème de Borel Cantelli ni Théorème de Borel Lebesgue. En mathématiques, le théorème de Borel[1],[2] …   Wikipédia en Français

  • Propriété de Borel-Lebesgue — Compacité (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Compacité et Compact. En topologie de la droite réelle, la propriété de Borel Lebesgue est une propriété topologique remarquable des segments, basée sur la notion de recouvrement. Elle… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Heine-Borel — Théorème de Borel Lebesgue En Topologie de , le théorème de Borel Lebesgue ou de Heine Borel établit l équivalence entre les deux propriétés suivantes d un ensemble A de vecteurs : A est fermé et borné (A est borné s il existe une constante… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de heine — Le théorème de Heine, nommé ainsi en l honneur de Édouard Heine, s énonce ainsi : Soit deux espaces métriques X et Y, tel que X soit également compact. Alors toute application continue de X dans Y est uniformément continue. Cela implique… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Bolzano-Weierstrass — Pour les articles homonymes, voir Théorème de Weierstrass. En topologie des espaces métriques, le théorème de Bolzano Weierstrass donne une caractérisation séquentielle des espaces compacts. Il tire son nom des mathématiciens Bernard Bolzano et… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Lebesgue — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. En mathématiques, plusieurs théorèmes portent, au moins en partie, le nom de Henri Léon Lebesgue : Théorèmes de convergence monotone et dominée de… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Heine — Le théorème de Heine, nommé ainsi en l honneur de Édouard Heine, s énonce ainsi : toute application continue d un espace métrique compact dans un espace métrique quelconque est uniformément continue. Cela implique notamment que toute… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”