Theoreme de la bijection

Theoreme de la bijection

Théorème de la bijection

En analyse réelle, on appelle théorème de la bijection un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires prouvant l'existence d'une bijection entre deux ensembles. Cette version se complète dans le supérieur par des propriétés touchant la réciproque de la bijection ainsi obtenue .

Sommaire

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Théorème de la bijection (version 1) — Si f est une fonction de  \R dans \R continue et strictement monotone sur un intervalle I= [a;b] alors f détermine une bijection de [a;b] vers un intervalle J dont les bornes sont f(a) et f(b).

Généralisation. Le théorème se généralise à des intervalles I ouverts ou semi-ouverts, l'intervalle J est alors un intervalle de même nature que I. Le terme de même nature doit être explicité. Le théorème de la bijection précise que

  • si I=[a, b[ et f est croissante, l'intervalle J est [f(a), \lim_b f[
  • si I=[a, b[ et f est décroissante, l'intervalle J est ]\lim_b f, f(a)]
  • etc.

Formulations équivalentes du théorème. si f est continue strictement monotone sur un intervalle I de bornes a et b

  • pour tout élément k strictement compris entre les limites de f en a et b, il existe un unique c de I tel que f(c) = k
  • pour tout élément k strictement compris entre les limites de f en a et b, l'équation f(x) = k d'inconnue x admet une unique solution dans I.

Remarques

Ce théorème permet de prouver l'existence de fonctions réciproques et de bâtir ainsi une large famille de fonctions élémentaires essentielles à l'élaboration de la branche des mathématiques appelée analyse.

  • Les fonctions définies de \mathbb{R}_+ dans \mathbb{R}_+ qui à x\, associent \sqrt[n]{x}\, sont les fonctions réciproques des fonctions définies de \mathbb{R}_+ dans \mathbb{R}_+ qui à x\, associent x^n\,.
  • les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques classiques, arc sinus, arc cosinus et arc tangente, sont aussi définies grâce à ce théorème.

Ce théorème n'est pas vrai sur les nombres rationnels, ce qui a empêché une construction rigoureuse de l'analyse jusqu'au XIXe siècle. Pour une approche rigoureuse, il a fallu attendre les travaux de Dedekind et de Cauchy qui ont fourni une construction des nombres réels.

Le théorème de la bijection donne des conditions suffisantes pour construire une bijection d'un intervalle I sur un intervalle J mais ces conditions ne sont pas nécessaires. Il existe en effet des bijections de I sur J qui ne sont ni continues ni monotones. En revanche,

  • une fonction continue sur I qui ne serait pas monotone ne peut pas être une bijection de I sur f(I).
  • une fonction monotone sur un intervalle I non continue ne peut pas déterminer une bijection de l'intervalle I sur un intervalle J.

Utilisation pratique

Remarquons que l'application f donnée n'est pas forcément bijective. Dans la pratique, pour appliquer ce théorème, nous devons

  • vérifier que f est continue sur I,
  • vérifier que f est strictement monotone,
  • déterminer l'intervalle J = f(I) qui est de même type que l'intervalle I (ouvert, fermé ou semi-ouvert), dont les bornes sont les limites de f aux bornes de I, ou les valeurs que prend f aux bornes.

Homéomorphisme

En réalité, les propriétés requises permettent de démontrer non seulement l'existence d'une bijection mais aussi le caractère continu de sa réciproque. Une fonction continue de A vers B dont la réciproque est continue de B vers A est appelée un homéomorphisme. le théorème de la bijection peut alors s'énoncer ainsi :

Théorème de la bijection (version 2) —  Soit I un intervalle et f une fonction continue et strictement monotone de I dans \textstyle \R. En notant \tilde{f} la même fonction restreinte à l'arrivée à f(I), on a alors

  1. f(I) est un intervalle de \R
  2. \tilde{f} est bijective
  3. \tilde{f}^{-1} est strictement monotone de même sens que f
  4. \tilde{f}^{-1} est continue sur f(I).

Le fait qu'une bijection continue ait une réciproque continue n'est pas une évidence.

  • Cette propriété peut être fausse si l'ensemble de départ ou d'arrivée n'est pas \R.
  • Cette propriété peut être fausse si l'ensemble de départ n'est pas un intervalle de \R
  • Cette propriété est une propriété globale: un bijection de \R dans \R, continue en a peut avoir une réciproque non continue en f(a).

Notes et références

  1. Bertrand Hauchecorne, Les contre-exemples en mathématiques, Ellipses, ISBN 2-7298-8806-3, p 61
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