Théorème des gendarmes

Deux fonctions f et h qui admettent la même limite L au point a et une fonction g prise en « étau » entre f et h dans le voisinage de a. Le théorème sandwich stipule donc que g admet L comme limite en a.

En analyse, le théorème des gendarmes (également appelé théorème d'encadrement, théorème du pincement, théorème de l'étau ou théorème du sandwich) est un théorème concernant la limite d'une fonction. Ce théorème stipule que si deux fonctions ( $f$ et $h$ ) admettent la même limite en un point ( $a$ ) et qu'une troisième fonction ( $g$ ) est prise en « étau » (ou « encadrée » ou « prise en sandwich ») entre $f$ et $h$ dans le voisinage de $a$ , alors $g$ admet la même limite en $a$ .

Le théorème des gendarmes est une technique très importante en calcul infinitésimal et en analyse. Il est généralement utilisé afin de déterminer la limite d'une fonction via la comparaison avec deux autres fonctions dont la limite est connue ou facilement calculable.

Énoncé

Soit $I$ un intervalle contenant le point $a$ . Soit $f$ , $g$ et $h$ trois fonctions réelles définies sur l'intervalle $I$ , sauf possiblement au point $a$ .

si pour tout $x$ de $I$ qui n'est pas égal à $a$ on a $f(x)\le g(x) \le h(x)$
et si $\lim_{x \to a}f(x) = \lim_{x \to a}h(x) = L$ ,
alors $\lim_{x \to a}g(x) = L$

Remarques

$a$ peut être situé à l'intérieur de l'intervalle $I$ ou à une de ses bornes (extrémités). En effet, dans ce dernier cas, on considérera la limite à gauche ou la limite à droite.
$a$ peut être fini ou infini. En effet, basé sur la remarque précédente, si, par exemple, $I = [0, +\infty [$ , nous pouvons utiliser la limite lorsque $x \to +\infty$ .

Origine du nom

Pour comprendre le nom familier du théorème, il faut assimiler les fonctions $f$ et $h$ à des gendarmes et $g$ à un délinquant. Ce dernier, encadré par les deux gendarmes, est obligé de les suivre jusqu'à la gendarmerie $L$ . En Italie, on l'appelle « théorème des carabiniers », « théorème de l'affrontement », ou encore « théorème du sandwich »...

Démonstration

La démonstration met directement en œuvre la notion de voisinage de $a$ et la définition de la limite.

Pour tout intervalle ouvert U contenant L,

Puisque $\lim_{x \to a}f(x) = L$ , il existe un voisinage V₁ de $a$ tel que

pour tout

x

de V₁, $f(x) \in U$

Puisque $\lim_{x \to a}h(x) = L$ , il existe un voisinage V₂ de $a$ tel que

pour tout x de V₂, $h(x) \in U$

Enfin, d'après la propriété d'encadrement, il existe un voisinage V₃ de $a$ tel que

pour tout x de V₃, $f(x) \le g(x) \le h(x)$

L'intersection de trois voisinages est un voisinage donc $V = V_1 \cap V_2 \cap V_3$ est un voisinage de $a$ et pour tout $x$ de V, on a

$f(x) \in U$
$h(x) \in U$
$f(x) \le g(x) \le h(x)$

d'où il vient que pour tout voisinage $U$ contenant $L$ , il existe un voisinage $V$ tel que $x\in V$ implique $g(x) \in U,$

ce qui prouve que $\lim_{x \to a}g(x) = L$

Exemple

Montrons que :

$\lim_{x \to +\infty} {\sin(x)\over x} = 0$

On a, pour tout réel x :

$-1 \le \sin(x) \le 1$

Donc, pour tout réel x strictement positif :

$-{1\over x} \le {\sin(x)\over x} \le {1\over x}$

Or :

$\lim_{x \to +\infty} -{1\over x} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} {1\over x} = 0$

Ainsi, d'après le théorème dit « des gendarmes » :

$\lim_{x \to +\infty} {\sin(x)\over x} = \lim_{x \to +\infty} -{1\over x} = \lim_{x \to +\infty} {1\over x} = 0$

Variantes

Des variantes de ce théorème existent pour des fonctions dont la limite est infinie, mais ce sont des théorèmes de comparaison distincts de celui des gendarmes (à donc utiliser en écrivant « d'après un théorème de comparaison »).

f

g

sont deux fonctions réelles définies sur un même intervalle

I

, telles que pour tout

x

I

dans un voisinage de

a

$f(x)\le g(x)$ et $\lim_{x \to a}f(x) = +\infty$ (a fini ou non), alors on a aussi : $\lim_{x \to a}g(x) = + \infty$

f

g

sont deux fonctions réelles définies sur un même intervalle

I

, telles que pour tout

x

I

dans un voisinage de

a

$f(x)\le g(x)$ et $\lim_{x \to a}g(x) = -\infty$ (a fini ou non), alors on a aussi : $\lim_{x \to a}f(x) = - \infty$

f

g

sont deux fonctions réelles définies sur un même intervalle

I

, telles que pour tout

x

I

dans un voisinage de

a

$0 \le f(x)\le g(x)$ et $\lim_{x \to a}g(x) = 0$ (a fini ou non), alors on a aussi : $\lim_{x \to a}f(x) = 0$

Enfin des théorèmes analogues existent pour des limites de suites

Si u, v et w sont trois suites réelles, telles que pour tout n > N

$u_n\le v_n \le w_n$ et $\lim_{n \to +\infty}u_n = \lim_{n \to +\infty}w_n = L$ , alors on a aussi : $\lim_{n \to +\infty}v_n = L$

avec les variantes pour les limites infinies.

Les démonstrations de toutes ces variantes sont analogues à celle développée plus haut.

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