Méthode de Gauss-Seidel
- Méthode de Gauss-Seidel
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La méthode de Gauss-Seidel est une méthode itérative de résolution d'un système matriciel de la forme Ax = b. Pour cela, on utilise une suite x(k) qui converge vers un point fixe x, solution du système d'équations linéaires.
En notant A = [aij] et b = [bi], on construit la suite :
Ce qui, en décomposant A en matrices triangulaires, s'écrit sous forme matricielle :
x(k) = (D − L) − 1(Ux(k − 1) + b) où D est la partie diagonale de A, − L sa partie triangle inférieure et − U sa partie triangle supérieure: A = D − L − U
Remarque : L'écriture (D − L) − 1 est une convention de notation (au demeurant usuelle dans les articles et livres d'analyse numérique matricielle) : il ne s'agit pas de calculer l'inverse de la matrice (D − L) − 1, mais de résoudre « en cascade » le système triangulaire inférieur (D − L)x(k) = [f], ce qui est plus rapide, plus simple et numériquement moins sujet aux arrondis.
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