Groupe résoluble

En mathématiques, la théorie des groupes tire son origine de la recherche de solutions générales (ou de leur absence) pour les racines des polynômes de 5^e degré ou plus. Le concept de groupe résoluble provient d'une propriété partagée par les groupes d'automorphismes des polynômes dont les racines peuvent être exprimées en utilisant seulement un nombre fini d'opérations (racine n-ièmes, addition, multiplication, etc.).

Définition

Un groupe G est résoluble lorsqu'il existe une suite finie de n + 1 sous-groupes de G telle que :

où , G_i est un sous-groupe distingué de G_{i + 1} et le groupe quotient G_{i + 1} / G_i est abélien (I est ici le sous-groupe trivial, i.e. constitué uniquement de l'élément neutre de G).

est donc une chaîne normale (en) dont tous les facteurs sont abéliens.

La suite est dite suite de résolubilité de G. Si , (c’est-à-dire qu'il s'agit de sous-groupes propres), on l'appelle suite de résolubilité sans répétition.

Un groupe est résoluble si et seulement si sa suite dérivée est stationnaire à {e}.

Chaîne de composition

Il n'est pas nécessaire, dans la définition précédente, pour i < n qu'un groupe G_i soit un groupe distingué de G, ni que G_i soit un sous-groupe maximal de G_{i + 1}.

Si , G_i est un sous-groupe propre, maximal et distingué de G_{i + 1}, alors le groupe quotient G_{i + 1} / G_i est simple à chaque fois. Dans ce cas, est une chaîne de composition.

Aucun sous-groupe additionnel ne peut être ajouté à une chaîne de composition, celle-ci cesse sinon d'être une chaîne normale. Si une chaîne de composition existe pour un groupe G, alors toute chaîne normale de G peut être transformée en chaîne de composition en insérant des sous-groupes adéquats.

Tout groupe fini possède une chaîne de composition. Ceci n'est pas forcément le cas pour un groupe infini (le groupe additif des entiers relatifs n'en possède pas, par exemple).

Propriétés

• Tout groupe abélien est résoluble.
• Tout sous-groupe d'un groupe résoluble est résoluble.
• Tout groupe quotient d'un groupe résoluble (par un sous-groupe normal) est résoluble (ce qu'on peut reformuler en : s'il existe un morphisme de groupes surjectif d'un groupe résoluble sur G, alors G est résoluble).
• Si H et G/H sont résolubles, alors G est résoluble (en particulier : si H et K sont résolubles, alors H×K est résoluble).
• Un groupe simple est résoluble si et seulement s'il est commutatif, ce qui a lieu si et seulement si c'est un groupe fini d'ordre premier.
• Un groupe fini est résoluble si et seulement s'il admet une chaîne de composition dont les facteurs sont des groupes (cycliques) d'ordre premier (puisque tout groupe fini admet une chaîne de composition et que si le groupe en question est résoluble, les quotients d'une telle chaîne sont à la fois simples et résolubles).

Exemples

• Tous les groupes abéliens sont résolubles.
• Le groupe symétrique n'est résoluble que si .
• Le groupe des matrices triangulaires supérieures est résoluble.
• Tous les groupes nilpotents sont résolubles.
• Si G est un groupe fini dont tous les sous-groupes propres sont nilpotents, alors G est résoluble (c'est le théorème de Schmidt).
• Tous les groupes simples non abéliens sont non résolubles.

Théorème de Feit–Thompson

Tout groupe fini d’ordre impair est résoluble.

Il en résulte que tout groupe fini simple non abélien est d’ordre pair et contient donc au moins une involution (c'est-à-dire un élément d'ordre 2).

Bibliographie

• K. Doerk et T. Hawkes, Finite Soluble Groups, Berlin, de Gruyter, 1992.
• J. C. Lennox and D. J. S. Robinson, The theory of infinite soluble groups, Oxford University Press, 2004.

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