Groupe Résoluble

Groupe résoluble

En mathématiques, la théorie des groupes tire son origine de la recherche de solutions générales (ou de leur absence) pour les racines des polynômes de 5^e degré ou plus. Le concept de groupe résoluble provient d'une propriété partagée par les groupes d'automorphismes des polynômes dont les racines peuvent être exprimées en utilisant seulement un nombre fini d'opérations (racine n-ièmes, addition, multiplication, etc.).

Définition

Un groupe $G$ est résoluble lorsqu'il existe une suite finie $G_0, G_1, \ldots, G_n$ de $n + 1$ sous-groupes de $G$ telle que :

$I= G_0\subset G_1\subset \ldots\subset G_{n-1}\subset G_n = G$

où $\forall i\in[0,n-1]$ , $G i$ est un sous-groupe distingué de $G i + 1$ et le groupe quotient $G i + 1 / G i$ est abélien ( $I$ est ici le sous-groupe constitué uniquement de l'élément neutre de $G$ ).

$G_0, \ldots, G_n$ est donc une chaîne normale dont tous les facteurs sont abéliens.

La suite $G_0, \ldots, G_n$ est dite suite de résolubilité de $G$ . Si $\forall i<n$ , $G_i\ne G_{i+1}$ (c’est-à-dire qu'il s'agit de sous-groupes propres), on l'appelle suite de résolubilité sans répétition.

Un groupe est résoluble si et seulement si sa suite dérivée est stationnaire à ${e}$ .

Chaîne de composition

Il n'est pas nécessaire, dans la définition précédente, pour $i < n$ qu'un groupe $G i$ soit un groupe distingué de $G$ , ni que $G i$ soit un sous-groupe maximal de $G i + 1$ .

Si $\forall i<n$ , $G i$ est un sous-groupe propre, maximal et distingué de $G i + 1$ , alors le groupe quotient $G i + 1 / G i$ est simple à chaque fois. Dans ce cas, $G_0, \ldots, G_n$ est une chaîne de composition.

Aucun sous-groupe additionnel ne peut être ajouté à une chaîne de composition, celle-ci cesse sinon d'être une chaîne normale. Si une chaîne de composition existe pour un groupe $G$ , alors toute chaîne normale de $G$ peut être transformée en chaîne de composition en insérant des sous-groupes adéquats.

Tout groupe fini possède une chaîne de composition. Ceci n'est pas forcément le cas pour un groupe infini (le groupe additif des entiers relatifs $(\mathbb Z,+)$ n'en possède pas, par exemple).

Propriétés

Si $G$ est résoluble et $H$ est un sous-groupe de $G$ , alors $H$ est résoluble.
Si $G$ est résoluble et $H$ est un sous-groupe normal de $G$ , alors $G / H$ est résoluble.
Si $G$ est résoluble, $G'$ un groupe et s'il existe un homomorphisme de groupe surjectif de $G$ sur $G'$ , alors $G'$ est résoluble.
Si $H$ et $G / H$ sont résolubles, alors $G$ est résoluble.
Si $G$ et $H$ sont résolubles, alors $G\times H$ est résoluble.

Pour un groupe résoluble fini, il est équivalent de rechercher une chaîne de composition dont les facteurs sont des groupes cycliques d'ordre premier (puisque tout groupe simple abélien fini est cyclique d'ordre premier).

Tout groupe abélien est résoluble.

Exemples

Tous les groupes abéliens sont résolubles.

Le groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$ n'est résoluble que si $n\le 4$ .

Le groupe des matrices $n\times n$ triangulaires supérieures $T_n=\{A=(a_{ij})|a_{ij}\in\mathbb{K},\det(A)\neq0,a_{ij}=0\text{ si }i>j\}$ est résoluble.

Tous les groupes nilpotents sont résolubles.

Tous les groupes simples non abéliens sont non résolubles.

Théorème de Feit–Thompson

Tout groupe fini d’ordre impair est résoluble.

Il en résulte que tout groupe fini simple non abélien est d’ordre pair et contient donc au moins une involution (c'est-à-dire un élément d'ordre 2).

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