Groupe d'homotopie

Groupe d'homotopie

En mathématiques, et plus particulièrement en topologie et topologie algébrique, les groupes d'homotopie sont des invariants qui généralisent la notion de groupe fondamental aux dimensions supérieures.

Sommaire

Définition mathématique

Il y a plusieurs définitions équivalentes possibles.

Première définition

Soit X un espace topologique et x0 un point de X. Soit \mathcal{B}^i la boule unité de dimension i de l'espace euclidien \mathbb{R}^i. Son bord \partial \mathcal{B}^i = \mathcal{S}^{i-1} est la sphère unité de dimension i − 1.

Le i-ième groupe d'homotopie supérieur πi(X,x0) est l'ensemble des classes d'homotopie relative à \mathcal{S}^{i-1} d'applications continues f : \mathcal{B}^i\to X telle que : f(\mathcal{S}^{i-1}) = \{x_0\}.

Un élément de πi(X,x0) est donc représenté par une fonction continue de la i-boule vers X, qui envoie la (i − 1)-sphère vers le point de référence x_0\in X, la fonction étant définie modulo homotopie relative à \mathcal{S}^{i-1}.

Deuxième définition

En identifiant le bord du disque à un point s0, on obtient une sphère \mathbb{S}^i et chaque élément de πi(X,x0) se définit par les classes d'homotopie des applications \mathbb{S}^i\to X par lesquelles le point base s0 de la sphère se transforme en x0. On peut dire que les éléments du groupe πi(X,x0) sont les composantes connexes de l'espace topologique des applications \mathbb{S}^i\to X pour lesquelles on a : s_0\mapsto x_0.

Produit sur l'ensemble des classes d'homotopie

Pour définir une opération sur les classes d'homotopie, il est utile d'identifier le disque \mathbb{D}^i avec le cube \mathbb{I}^i=[0; 1]^i de dimension i dans \mathbb{R}^i.

La définition du produit est la suivante : La somme de deux applications du cube f,g : (\mathbb{I}^i,\mathbb{S}^{i-1})\to (M,x_0) est l'application f+g : (\mathbb{I}^i,\mathbb{S}^{i-1})\to (M,x_0) définie par la formule :

(f + g)(t_1, t_2,\ldots, t_i) = f(2t_1, t_2, \ldots, t_n) pour t_1\in [0 ; {1\over 2}]

et

(f + g)(t_1, t_2, \ldots, t_n) = g(2t_1-1, t_2, \ldots, t_n) pour t_1\in [{1\over2} ; 1].

Lorsque l'on passe aux classes d'homotopie, la loi de composition obtenue est associative, unifère, tout élément admet un inverse et la loi est commutative si i\geqslant 2.

On définit donc un groupe commutatif si i\geqslant 2.

On obtient le groupe fondamental si i = 1

Propriétés et outils

Suite exacte longue d'homotopie d'une fibration et fonctorialité

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Groupes d'homotopie relatifs et suite exacte longue d'homotopie d'un couple

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Homologie et homotopie : le théorème d'Hurewicz

Pour un espace topologique X, on a deux familles de groupes associés à X : Les groupes d'homotopie (relatifs) notés πi(X,A,x0) et les groupes d'homologie singulière (relatifs) notés Hi(X,A). Les groupes d'homologie sont plus faciles à calculer que les groupes d'homotopie, et on s'interroge sur le lien entre ces deux familles de groupes.

On a un morphisme de groupes naturel h_n\ :\ \pi_n(X,A,*)\to H_n(X,A).


Si A\sub X sont connexes par arcs et si le couple (X,A) est n-1-connexe, n\geq 2 alors :

  • d'une part le théorème d'Hurewicz relatif affirme que Hi(X,A) = 0 (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un épimorphisme dont le noyau est engendré par les éléments ω(β) − β avec \omega\in\pi_1(A,*) et \beta\in\pi_n(X,A,*)=1 ; en particulier, si π1(A, * ) = 1, alors hn est un isomorphisme ;
  • d'autre part le théorème d'Hurewicz absolu (A=*) affirme que si X est n-1-connexe, n\geq 2, on a Hi(X, * ) = 0 (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un isomorphisme.

Pour n=1, voir Théorème d'Hurewicz

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Le théorème de Whitehead pour les CW-complexes (complexes cellulaires)

Articles détaillés : Théorème de Whitehead et CW-complexe.

Théorèmes de périodicité de Bott

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Espaces asphériques, espaces d'Eilenberg MacLane et théorie de l'obstruction

Un espace est dit asphérique ou un K(π,1) si les groupes d'homotopies sont triviaux sauf le π1

Méthodes de calcul

Contrairement au groupe fondamental (i=1) et aux groupes d'homologie et de cohomologie, il n'y a pas de méthode simple de calcul des groupes d'homotopie dès que i\geqslant 2 (Il manque un analogue des théorèmes d'excision et de Van-Kampen).

Groupes d'homotopie des sphères

Article détaillé : Groupes d'homotopie des sphères.

Cas des groupes de Lie

Le groupe fondamental est commutatif. L'action du π1 sur les πi est triviale.

Bibliographie en français


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