Suite exacte

Suite exacte

En mathématiques, une suite exacte est une suite (finie ou infinie) de groupes abéliens et de morphismes entre eux telle que l'image de l'un est égal au noyau du suivant.

Définition

Soient \left( {G_i} \right)_{i \in \mathbb{N}} des groupes abéliens et f_i : G_{i} \rightarrow G_{i+1} des morphismes de groupes. On dit que la suite :

G_0 \xrightarrow{f_0} G_1 \xrightarrow{f_1} \cdots \xrightarrow{f_{i-1}} G_i \xrightarrow{f_i} G_{i+1} \xrightarrow{f_{i+1}} \cdots

est exacte si pour tout i\in \N on a Im(fi) = Ker(fi + 1).

En particulier :

1 \rightarrow G_1 \xrightarrow{f} G_2 \xrightarrow{g} G_3 \rightarrow 1

est une suite exacte (on dit parfois suite exacte courte) signifie que f est injective, Im(f) = Ker(g) et que g est surjective. elle sera dite scindée s'il existe un morphisme s de G3 dans G2, appelé section et tel que :

g\circ s=\mathrm{id}_{G_3}

En théorie des groupes, une suite exacte courte est appelée extension de groupes (en). Elle est scindée si et seulement si c'est un produit semi-direct.

La définition des suites exactes se généralise à toute catégorie abélienne, en remplaçant « image » par « conoyau ».


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Suite exacte de Wikipédia en français (auteurs)

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