Commutative

Commutative

Loi commutative

Exemple montrant la commutativité de l'addition (3 + 2 = 2 + 3)

En mathématiques, particulièrement en algèbre générale, une loi de composition interne \star sur un ensemble S est commutative si, pour tous x et y dans S,

x \star y = y \star x.

Les exemples les plus courants de lois commutatives sont l'addition et la multiplication des entiers naturels ; par exemple :

4 + 5 = 5 + 4
2 × 3 = 3 × 2

D'autres exemples de lois commutatives incluent l'addition et la multiplication des nombres réels et des nombres complexes, l'addition des vecteurs, et l'intersection et la réunion des ensembles.

D'importantes lois non commutatives sont la soustraction, la division, la multiplication des matrices, la composition de fonctions et la multiplication des quaternions.

Un groupe abélien est un groupe dont la loi est commutative.

Un anneau est appelé anneau commutatif si sa multiplication est commutative puisque la loi d'addition dans tout anneau est commutative.

Il en est de même pour un corps. Il est remarquable que la loi de multiplication sur un corps fini est toujours commutative. C'est ce qu'on appelle le théorème de Wedderburn.

Soit S un ensemble muni d'une loi de composition interne \star. Deux éléments x,y de S sont dits permutables si par définition:

x\star y=y\star x.

On dit parfois que x et y commutent.

Remarque : Il peut exister dans un ensemble des éléments permutables, sans que la loi soit commutative. C'est le cas, par exemple, de l'ensemble des matrices carrées d'ordre n muni de la multiplication qui n'est pas commutative. Mais la matrice identité et n'importe quelle autre matrice sont permutables.

\star est commutative si et seulement si pour tout couple (x,y) d'éléments de S, x et y sont permutables.

Non-commutativité

Toutes les lois de composition interne ne sont pas commutatives. Par exemple :

  • la soustraction arithmétique : a - b ≠ b - a n'est pas commutative,
  • la soustraction booléenne des solides géométriques n'est pas commutative.

Voir aussi

Wiktprintable without text.svg

Voir « loi commutative » sur le Wiktionnaire.
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques

Ce document provient de « Loi commutative ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Commutative de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Commutative — Com*mut a*tive, a. [CF. F. commutatif.] 1. Relative to exchange; interchangeable; reciprocal. {Com*mut a*tive ly}, adv. [1913 Webster] Rich traders, from their success, are presumed . . . to have cultivated an habitual regard to commutative… …   The Collaborative International Dictionary of English

  • commutative — Commutative. adj. f. v. Il n a d usage qu en cette phrase. Justice commutative, qui signifie La Justice qui regarde le commerce, & l eschange d une chose contre une autre, & qui fait qu on rend autant qu on reçoit …   Dictionnaire de l'Académie française

  • commutative — index convertible, mutual (reciprocal) Burton s Legal Thesaurus. William C. Burton. 2006 …   Law dictionary

  • commutative — 1530s, from M.L. commutativus, from L. commutat , pp. stem of commutare (see COMMUTE (Cf. commute)) …   Etymology dictionary

  • commutative — ► ADJECTIVE Mathematics ▪ unchanged in result by interchanging the order of quantities, such that for example a x b = b x a …   English terms dictionary

  • commutative — [kə myo͞ot′ə tiv, käm′yə tāt΄iv] adj. 1. of commutation; involving exchange or replacement 2. Math. of or pertaining to an operation in which the order of the elements does not affect the result, as, in addition, 3 + 2 = 2 + 3 and, in… …   English World dictionary

  • commutative — adjective a) Such that the order in which the operands are taken does not affect their image under the operation. Addition on the real numbers is commutative because for any real numbers , . b) Having a commutative operation. Syn: abelian …   Wiktionary

  • commutative — ● commutatif, commutative adjectif Se dit d une opération mathématique portant sur deux ou plusieurs termes et dont le résultat ne change pas si l on change l ordre de ces termes. Relatif à une commutation d éléments linguistiques. ● commutatif,… …   Encyclopédie Universelle

  • commutative — adjective Date: 1612 1. of, relating to, or showing commutation 2. of, relating to, having, or being the property that a given mathematical operation and set have when the result obtained using any two elements of the set with the operation does… …   New Collegiate Dictionary

  • commutative — commutatively, adv. commutativity, n. /keuh myooh teuh tiv, kom yeuh tay tiv/, adj. 1. of or pertaining to commutation, exchange, substitution, or interchange. 2. Math. a. (of a binary operation) having the property that one term operating on a… …   Universalium

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”