- Groupes d'homotopie
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Groupe d'homotopie
En mathématiques, et plus particulièrement en topologie et topologie algébrique, les groupes d'homotopie sont des invariants qui généralisent la notion de groupe fondamental aux dimensions supérieures.
Définition mathématique
Il y a plusieurs définitions équivalentes possibles. La première définition :
Soit X un espace topologique et x0 un point de X. Soit la boule unité de dimension i de l'espace euclidien . Son bord est la sphère unité de dimension i − 1.
Le i-ième groupe d'homotopie supérieur πi(X,x0) est l'ensemble des classes d'homotopie relative à d'applications continues telle que : .
Un élément de πi(X,x0) est donc représenté par une fonction continue de la i-boule vers X, qui envoie la (i − 1)-sphère vers le point de référence , la fonction étant définie modulo homotopie relative à .
La deuxième définition :En identifiant le bord du disque en un point s0, on obtient une sphère et chaque élément de πi(X,x0) se définit par les classes d'homotopie des applications par lesquelles le point base de la sphère s0 se transforme en x0. On peut dire que les éléments du groupe πi(X,x0) sont les composantes connexes de l'espace topologique des applications pour lesquelles on a : .
Produit sur l'ensemble des classes d'homotopie
Pour définir une opération sur les classes d'homotopie, il est utile d'identifier le disque avec le cube de dimension i dans .
La définition du produit est la suivante : La somme de deux applications du cube est l'application définie par la formule :
pour
et
() pour .
Lorsque l'on passe aux classes d'homotopie, la loi de composition obtenue est associative, unifère, tout élément admet un inverse et la loi est commutative si .
On définit donc un groupe commutatif si .
On obtient le groupe fondamental si i = 1
Propriétés et outils
Suite exacte longue d'homotopie d'une fibration et fonctorialité
- V. suite exacte et fibrations
Groupes d'homotopie relatifs et suite exacte longue d'homotopie d'un couple
- V. suite exacte
Homologie et homotopie : le théorème de Hurewicz
Pour un espace topologique X, on a deux familles de groupes associés à X : Les groupes d'homotopie (relatifs) notés πi(X,A,x0) et les groupes d'homologie singulière (relatifs) notés Hi(X,A). Les groupes d'homologie sont plus faciles à calculer que les groupes d'homotopie, et on s'interroge sur le liens entre ces deux familles de groupes.
On a un morphisme de groupes naturel .
Si sont connexes par arcs et si le couple (X,A) est n-1-connexe, ,le théorème de Hurewicz relatif affirme que Hi(X,A) = 0 (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un épimorphisme dont le noyau est engendré par les éléments ω(β) − β avec et . En particulier, si π1(A, * ) = 1, alors hn est un isomorphisme.
Le théorème de Hurewicz absolu (A=*) affirme que si X est n-1-connexe, , on a Hi(X, * ) = 0 (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un isomorphisme.
Pour n=1, voir Théorème d'Hurewicz
Le théorème de Whitehead pour les CW-complexes (complexes cellulaires)
- Voir CW-complexes
Théorèmes de périodicité de Bott
Espaces asphériques, espaces d'Eilenberg MacLane et théorie de l'obstruction
Un espace est dit asphérique ou un K(π,1) si les groupes d'homotopies sont triviaux sauf le π1
Méthodes de calcul
Contrairement au groupe fondamental (i=1) et aux groupes d'homologie et de cohomologie, il n'y a pas de méthode simple de calcul des groupes d'homotopie dès que (Il manque un analogue des théorèmes d'excision et de Van-Kampen).
Groupes d'homotopie des sphères
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Article détaillé : Groupes d'homotopie des sphères.
Cas des groupes de Lie
Le groupe fondamental est commutatif. L'action du π1 sur les πi est triviale.
Bibliographie en français
- Doubrovine, Novikov, Fomenko : Géométrie contemporaine, tomes 2 et 3, ed. Mir (Moscou)
- Jean Dieudonné : Eléments d'analyse, tome 9, ed. Jacques Gabais
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