Cycle De Carnot

Cycle De Carnot

Cycle de Carnot

Cycle de Carnot dans le diagramme de Clapeyron. AB : détente isotherme ; BC : détente adiabatique ; CD : compression isotherme ; DA : compression adiabatique.
Cycle de Carnot dans un diagramme température-entropie. AB : détente isotherme ; BC : détente adiabatique ; CD : compression isotherme ; DA : compression adiabatique.

Le cycle de Carnot est un cycle thermodynamique idéal constitué de quatre processus réversibles : une détente isotherme, une détente adiabatique (donc isentropique car réversible), une compression isotherme, et une compression adiabatique. C'est le cycle le plus efficace pour obtenir du travail à partir de deux sources de chaleur de températures constantes ; le cycle inverse est le moyen le plus efficace de transférer de la chaleur d'une source froide à une source chaude à partir d'une source de travail. L'efficacité des autres cycles et des machines réelles est comparé à celui du cycle de Carnot par le biais du rendement, un nombre sans dimension entre 0 (efficacité nulle) et 1 (efficacité du cycle de Carnot).

Il fut publié par Sadi Carnot en 1824 dans son unique ouvrage Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance et permit d'ouvrir la voie à la formulation du second principe de la thermodynamique.

Sommaire

Description du cycle

Carnot cherchait à faire un cycle avec la meilleure efficacité[1] possible. Ainsi chaque efficacité d'une machine thermodynamique peut être comparée avec l'efficacité du cycle de Carnot. Il sert de cycle de référence.

Le cycle est composé de 4 processus ( 2 isothermes et 2 adiabatiques réversibles) :

  • 1 : Compression adiabatique réversible
  • 2 : Détente isotherme
  • 3 : Détente adiabatique réversible
  • 4 : Compression isotherme

Le deuxième principe de la thermodynamique permet d'établir pour une transformation réversible (car le fluide est à la température de la source) l'égalité de Clausius-Carnot :

\frac{Q_f}{T_f}+\frac{Q_c}{T_c}=0

avec:

  • Qf transfert thermique avec la source froide (compté négativement).
  • Qc transfert thermique avec la source chaude (compté positivement).
  • Tf température absolue de la source froide.
  • Tc température absolue de la source chaude.

L'efficacité de Carnot

Cycle de Carnot moteur d'un gaz parfait dans le diagramme de Clapeyron. 1-2 : adiabatique réversible ; 2-3 : isotherme réversible ; 3-4 : adiabatique réversible ; 4-1 : isotherme réversible. W est le travail total reçu par le système au cours d'un cycle et est représenté géométriquement par l'aire du cycle.

De nombreux systèmes thermodynamiques ont une efficacité définie à partir de celui du Cycle de Carnot, qui est un cycle purement théorique. En notant A l'aire géométrique de la transformation dans le diagramme de Clapeyron, c'est-à-dire l'opposé du travail W reçu par le système décrivant le cycle, on a :

A = − W = A1,2 + A2,3 + A3,4 + A4,1 et Qc = transfert thermique avec la source chaude, toutes les deux définies positives.

Donc pour chaque processus, en supposant que le fluide décrivant le cycle est un gaz parfait avec \gamma = \frac{C_P}{C_V} et en notant T1 = T2 = Tc,T3 = T4 = Tf respectivement les températures des sources chaude et froide :

  • 1-2 :
    • Q_c = Q_{1,2} = A_{1,2} = p_2 V_2 \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)
    • ΔU1,2 = 0 car isotherme
  • 2-3 :
    • Q2,3 = 0 = A2,3 + ΔU2,3
    • d'où : A_{2,3} = - \Delta U_{2,3} = - \frac{nR}{\gamma -1}\,(T_3 - T_2)
  • 3-4 :
    • Q_f = Q_{3,4} = A_{3,4} = p_4 V_4 \ln\left(\frac{V_4}{V_3}\right)
    • ΔU3,4 = 0 car isotherme
  • 4-1 :
    • Q4,1 = 0 = A4,1 + ΔU4,1
    • d'où : A_{4,1} = - \Delta U_{4,1} = - \frac{nR}{\gamma -1}\,(T_4 - T_1)

Donc, en tenant compte de p_2\,V_2 = n\,R\,T_c, on a :

  • A_{tot} = nRT_c \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) + nRT_f \ln\left( \frac{V_4}{V_3} \right)
  • Q_c = nRT_c \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)

\eta = \frac{A_{tot}}{Q_c}=\frac{nRT_c \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) + nRT_f \ln\left(\frac{V_4}{V_3}\right)}{nRT_c \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)} = 1 + \frac{T_f}{T_c} \frac{\ln\left(\frac{V_4}{V_3}\right)}{\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)} = 1 - \frac{T_f}{T_c} \frac{\ln\left(\frac{V_4}{V_3}\right)}{\ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}

Nous avons également les formules de Laplace pour les processus processus isentropiques (donc ici les adiabatiques réversibles) :

T\,V^{\gamma -1} = Constante d'où :

  • 4-1 : T_f V_4 ^{\gamma -1} = T_c V_1 ^{\gamma -1}
  • 2-3 : T_f V_3 ^{\gamma -1} = T_c V_2 ^{\gamma -1}

Et donc le rapport : \frac{T_f V_4 ^{\gamma -1}}{T_f V_3 ^{\gamma -1} } = \frac{T_c V_1 ^{\gamma -1}}{T_c V_2 ^{\gamma -1}} donc : \frac{V_4}{V_3} = \frac{V_1}{V_2} et finalement \ln\left(\frac{V_4}{V_3}\right) = \ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right)

En incorporant ceci dans l'équation de l'efficacité on obtient :

\eta = 1 - \frac{T_f}{T_c}

On voit donc qu'il est impossible d'obtenir une efficacité de 100%, même pour le cycle de Carnot moteur entièrement réversible, sauf pour le cas théorique T_f= 0\ \textrm{K}

Notes et références

  1. ↑ L'efficacité thermodynamique est le rapport de ce qui est récupéré sur ce qui a été dépensé. Elle est très souvent confondue avec le rendement qui est le rapport entre l'efficacité réelle et l'efficacité théorique maximale de la machine.

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