Ensemble de définition

Ensemble de définition

En mathématiques, l'ensemble de définition Df d'une fonction f dont l'ensemble de départ est noté E et l'ensemble d'arrivée F, est l'ensemble des éléments de E qui possèdent une image dans F par f, autrement dit : l'ensemble des éléments x de E pour lesquels f(x) existe :

D_f = \{ x \in E \ |\, \exists\ y \in F \,/\, y = f ( x ) \} \,

Df est encore appelé domaine de définition de f ou domaine de f.

Il ne faut pas confondre le domaine de définition Df de la fonction f avec son ensemble de départ E. Il arrive toutefois que les deux soient égaux : la fonction est alors une application. Elle est dite dans ce cas bien définie ou définie partout dans E.

Sommaire

Exemple

À titre de contre-exemple, considérons la fonction

\begin{array}{ccccc}f&:&\R&\to&\R\\&&x&\mapsto&\frac1x~.\end{array}

Cette fonction n'est pas définie en 0 : « f(0) » n'existe pas.

L'ensemble de définition de cette fonction est donc \R^*=\R\setminus\{0\}. Il diffère de son ensemble de départ, \R ; cette fonction n'est donc pas une application.

Prolongement

Cependant, il est toujours possible de transformer une fonction en application, par exemple en la restreignant à son domaine de définition. Cette restriction est notée habituellement « f_{|D_f} » . C'est une application par construction.

Ainsi, dans notre exemple, la fonction

\begin{array}{ccccc}f_{|\R^*}&:&\R^*&\to&\R^*\\&&x&\mapsto&\frac1x\end{array}

est bien une application.

Une autre solution pour transformer une fonction en application consiste à la prolonger, c'est-à-dire choisir une image dans l'ensemble d'arrivée pour chacun des éléments sans image de l'ensemble de départ. En particulier, si une fonction f n'est pas définie en un point x0, il est possible de la prolonger en ce point en la remplaçant par une autre fonction, appelée prolongement de f en x0 et notée habituellement «  \bar f \, », et telle que :

  • sur Df, le prolongement \bar f coïncide avec f  :
\forall\ x \in D_f \, \bar f ( x ) = f ( x ) \,
  • au point x0, le prolongement de f a une valeur définie, a,  :
\exists\ a \in F /\, \bar f ( x_0 ) = a \,

Ainsi, dans notre exemple, on peut transformer la fonction f en application en la prolongeant à l'origine par : f(0) = 0.

Remarque : assez souvent, pour alléger les notations, le prolongement est noté de la même manière que la fonction initiale. Cette ambiguïté est sans conséquence si le prolongement est explicité et remplace aussitôt et définitivement la fonction initiale.

Voir aussi

Articles connexes

Lien externe

Théorie et exercices sur les domaines de définitions sur le site d'exercices, cours et annales de mathématiques pour économistes, de G. Carin et B. Dupont, université Lille I

v · d · m
Mathématiques élémentaires
Domaines des mathématiques Algèbre classique  · Arithmétique élémentaire  · Analyse  · Analyse réelle  · Suites numériques  · Géométrie classique  · Logique  · Probabilités  · Statistiques
Algèbre classique Addition  · Multiplication  · Division  · Ordre des opérations  · Table d'addition  · Table de multiplication  · Associativité  · Commutativité  · Distributivité  · Transitivité  · Proportionnalité  · Pourcentage  · Règle de trois  · Fraction  · Équation du premier degré  · Équation du second degré  · Système d'équation
Géométrie classique Géométrie du triangle  · Quadrilatère  · Coordonnées cartésiennes  · Théorème de Pythagore  · Théorème de Thalès  · Théorème de Thalès (cercle)  · Théorème des milieux  · Théorème d'Al-Kashi  · Rotation plane  · Homothétie  · Translation  · Similitude
Arithmétique Multiple  · Diviseur  · Division euclidienne  · Nombre premier  · Congruence sur les entiers  · PGCD de nombres entiers  · Plus petit commun multiple  · Critère de divisibilité  · Preuve par neuf
Suites et fonctions Fonction de référence  · Fonction affine  · Fonction du second degré  · Fonction puissance · Fonction trigonométrique  · Fonction logarithme  · Fonction exponentielle  · Suite arithmétique  · Suite géométrique  · Limite  · Dérivation  · Opérations sur les limites  · Dérivées usuelles  · Opérations sur les dérivées
Logique Logique (mathématiques élémentaires)  · Démonstration  · Contre-exemple  · Difficulté mathématique
Statistiques et probabilités Statistiques (mathématiques élémentaires)  · Critères de position  · Critères de dispersion  · Série statistique à deux variables  · Probabilités (mathématiques élémentaires)  · Arbre de probabilité  · Variables aléatoires élémentaires

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Ensemble de définition de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Ensemble De Définition — En mathématiques, l ensemble de définition D f  d une fonction  f  dont l ensemble de départ est noté  E  et l ensemble d arrivée  F , est l ensemble des antécédents de f, c est à dire l ensemble des éléments de …   Wikipédia en Français

  • Ensemble de definition — Ensemble de définition En mathématiques, l ensemble de définition D f  d une fonction  f  dont l ensemble de départ est noté  E  et l ensemble d arrivée  F , est l ensemble des antécédents de f, c est à dire l… …   Wikipédia en Français

  • Ensemble de définition d'une fonction — L ensemble de définition d une fonction est l ensemble sur lequel cette fonction « agit », on dit aussi « est définie ». C est l ensemble des x tels que existe. En toute rigueur, par définition une fonction est un triplet d… …   Wikipédia en Français

  • Ensemble Dénombrable — En mathématiques, un ensemble est dit dénombrable, ou infini dénombrable, lorsque ses éléments peuvent être listés sans omission ni répétition dans une suite indexée par les entiers. Certains ensembles infinis, au contraire, contiennent trop d… …   Wikipédia en Français

  • Ensemble denombrable — Ensemble dénombrable En mathématiques, un ensemble est dit dénombrable, ou infini dénombrable, lorsque ses éléments peuvent être listés sans omission ni répétition dans une suite indexée par les entiers. Certains ensembles infinis, au contraire,… …   Wikipédia en Français

  • DÉFINITION — Traditionnellement, définir, c’est expliciter, lorsqu’il s’agit d’un mot, et, lorsqu’il s’agit d’un être, c’est lui assigner un statut; on définit par genre prochain et différence spécifique: «La rose est une fleur d’églantier dont les étamines… …   Encyclopédie Universelle

  • Ensemble D'arrivée — Pour une fonction donnée f: A → B, l ensemble B est appelé l ensemble d arrivée ou codomaine de f. L ensemble d arrivée ne doit pas être confondu avec l image de f, f(A), qui est en général seulement un sous ensemble de B. Exemple Soit… …   Wikipédia en Français

  • Ensemble d'arrivee — Ensemble d arrivée Pour une fonction donnée f: A → B, l ensemble B est appelé l ensemble d arrivée ou codomaine de f. L ensemble d arrivée ne doit pas être confondu avec l image de f, f(A), qui est en général seulement un sous ensemble… …   Wikipédia en Français

  • Ensemble dénombrable —  Ne pas confondre avec la notion d espace à base dénombrable. En mathématiques, un ensemble est dit dénombrable, ou infini dénombrable, lorsque ses éléments peuvent être listés sans omission ni répétition dans une suite indexée par les… …   Wikipédia en Français

  • Ensemble récursivement énumérable — Récursivement énumérable En théorie de la calculabilité, un ensemble récursivement énumérable ou semi décidable est un ensemble qui est le domaine de définition, ou, de façon équivalente, l image d un fonction calculable (il faut ajouter l… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”