Chaînette

Courbe de la chaînette pour a=2

En mathématiques, la chaînette est une courbe plane transcendante, qui correspond à la forme que prend un câble (ou une chaîne) lorsqu'il est suspendu par ses extrémités et soumis à une force gravitationnelle uniforme (son propre poids). On lui donne parfois le nom de vélaire.

Cette définition suppose toutefois que le câble, la corde ou la chaîne n'exerce aucune force élastique de flexion (ni de friction aux surfaces transversales de contacts des mailles de la chaînette) et donc que la seule force en jeu est la force de gravitation exercée de façon uniforme sur toute la longueur. Cette définition suppose aussi que la longueur totale du câble, ou de n'importe quelle section de celui-ci, reste invariante lorsque s'exerce des forces de traction longitudinales (donc que le câble soit ne subit aucune élongation élastique à cause de cette traction, le cas idéal n'étant alors pas celui de la cordelette, mais celui d'une très fine chaînette à maillons indéformables, chacun d'eux étant très court en comparaison de la longueur totale de la chaînette).

Pour que la force de gravitation soit uniforme, on admet que toutes les sections de même longueur du câble ou de la corde sont de même poids, quelle que soit cette longueur de section (rapporté au cas de la chaînette idéale, les maillons élémentaires sont tous de forme et de taille identiques, mais aussi de masses identiques donc faits d’un matériau solide dont la masse volumique est homogène). D'autre part on doit aussi admettre que les forces de gravitation exercées sur chacune de ces sections sont égales (et ne dépendent donc pas de la position des sections, ce qui n’est possible que si la distance entre leur centre de gravité et le centre de gravité de la Terre est pratiquement identique entre deux sections quelconques, et donc que la longueur totale du câble est négligeable par rapport à la distance entre le milieu du câble et le centre de la Terre, de sorte que le module et la direction du champ de gravité terrestre sont alors pratiquement constants sur toute la longueur du câble ou de la chaînette idéale).

Enfin, on suppose que quelle que soit la forme de la chaînette, celle-ci reste confinée sur toute sa longueur dans le plan formé par la position de ses extrémités et la direction constante du champ gravitationnel : toutes les forces d'action ou de réaction s'exercent alors dans ce plan sans qu'intervienne aucune force de torsion supplémentaire (ou que les forces d’action exercées hors de ce plan sur toute section de la chaînette sont partout et constamment équilibrées par la réaction des forces de torsion égales en module et opposées en direction aux forces d’action, de sorte que les éventuelles forces de torsion, élastiques ou non, n'entrent pas en jeu dans la forme obtenue de la chaînette dans ce plan : ce cas s'applique aux fils, cordes et câbles, formés de torons soumis en interne à de telles forces de torsion maintenues en équilibre par des contre-torsions).

Étymologie et histoire

Caténaire, formé d'un câble porteur et d'un câble linéaire inférieur, reliés par des pendules : la chaînette virtuelle se situe entre les deux câbles.

Le problème de la forme prise par un fil pesant flexible a intéressé très tôt les mathématiciens. Galilée^[1] pensait que cette forme devait être un arc de parabole, mais la preuve du contraire fut apportée en 1669 par Jungius, après une première remise en cause par Huygens^[2] en 1646.

En 1691, Leibniz, Jean Bernoulli et Huygens, sous l’impulsion d’un défi lancé par Jacques Bernoulli, démontrent quasi simultanément que la forme exacte est une chaînette. C’est d’ailleurs Huygens qui la baptise ainsi, dans une lettre^[3] adressée à Leibniz.

Délaissant le vocable latin du problema funicularium, (problème relatif à la corde), utilisé par les Bernoulli, Huygens utilise le mot catenaria, courbe relative à la chaîne (catena), puis passe au français chaînette, renouant ainsi avec le terme catenella utilisé par Galilée (alors que les mathématiciens anglophones conserveront la désignation de Huygens pour la nommer catenary, le même mot anglais étant traduit en français par caténaire avec la même origine latine, mot utilisé aussi en français pour certaines constructions autoportées en forme de chaînette).

Certains auteurs francophones lui donnent donc aussi le nom de caténaire bien que la caténaire désigne plutôt l’association d’un câble autoporté soutenant dans le même plan un second câble linéaire dans sa partie inférieure, les deux câbles étant soumis à une force de traction longitudinale équilibrée par une série de pendules reliant verticalement les deux câbles, le système de portage déformant la caténaire porteuse pour lui donner une forme plus proche en fait de la parabole, la chaînette n'étant présente virtuellement que dans l'axe central entre les deux câbles où sont articulés les pendules de longueur variable.

L'intérêt du montage porteur en caténaire est de permettre de donner une forme quasi rectiligne au câble inférieur. Cela permet par exemple d'améliorer le contact et d'équilibrer (et même réduire) globalement les forces de frottement dans les systèmes d'alimentation électrique ferroviaire (en évitant autant que possible les ruptures causées par des chocs répétés contre le câble d'alimentation), mais aussi de réduire la longueur totale du câble inférieur afin de limiter sa résistance électrique totale (donc de réduire les pertes d'énergie en ligne au sein de ce câble) pour les caténaires de transport d'énergie à longue distance, sans avoir à augmenter de façon très importante la tension des câbles (ce qui les fragilise progressivement au cours du temps par des élongations inélastiques).

En effet, la forme de chaînette est celle qui permet de minimiser sa tension longitudinale : en augmentant la flèche de courbure (l’écartement maximum du câble par rapport à la ligne droite joignant les points d'attachement), donc aussi la longueur totale du câble entre les deux points fixes d’attachement, on réduit sensiblement cette tension longitudinale et donc aussi les élongations inélastiques et les risques de rupture rapide du câble.

Cette propriété de la chaînette est utilisée dans les câbles porteurs d'un téléphérique (ou d'autres systèmes de portage similaires comme le télésiège) qui adoptent la forme d'une chaînette entre les points d'attachement aux pylônes fixes, ou entre le point de charge d’une nacelle et chacun des points d'attachement aux pylônes précédent et suivant ; la seule contrainte supplémentaire exercée sur le câble est alors la flexion exercée aux points d’intersection des arcs de chaînettes successifs (aux pylônes ou au dessus d’une nacelle), une flexion dont on peut réduire l'effet inélastique indésirable en remplaçant ce point par un arc solide de soutien (par exemple le réa circulaire d’une poulie), d'une longueur suffisante pour distribuer et limiter la courbure de flexion exercée localement sur le câble. Ainsi il suffit d’un nombre très réduit de pylônes fixes pour porter le câble et franchir des distances très importantes entre deux pylônes, avec une seule chaînette entre eux, tout en conservant une tension de câble réduite qui en augmente la résistance et la charge utile de transport.

Définition mathématique

L’équation cartésienne de la forme de la chaînette est :

$y(x) = a \cdot \operatorname{ch}\left( {x \over a} \right) = {a \over 2} \cdot \left( e^{x \over a} + e^{-{x \over a}} \right)$ ,

dans laquelle $c h$ désigne le cosinus hyperbolique.

$a = \frac{H}{w}$ est le rapport de la composante horizontale $H$ de la tension $T$ au poids linéique $w$ , poids par unité de longueur.

Cette équation dépend d’un seul paramètre $a$ (une constante, qui a la dimension d’une longueur dans son interprétation physique). Une courbe d’équation :

$y(x)=b \cdot \operatorname{ch}\left( {x \over a} \right)$

n’est généralement pas une chaînette au sens strict. Cependant, la forme de la courbe ne varie pas à une constante additive près (déterminant sa hauteur de portée), et la courbe suivante sera considérée aussi comme une chaînette généralisée :

$y(x)=a \cdot \operatorname{ch}\left( {x \over a} \right) + c$

On peut également la voir sous la forme d’une équation paramétrique :

$\left\{ \begin{matrix} x(t) & = & a \cdot \ln\left( t \right) \\ y(t) & = & {a \over 2} \left( t + {1 \over t} \right) + c \\ t > 0 && \end{matrix} \right.$

Il peut être commode de prendre pour paramètre la tension qui croît avec l'altitude du point. Dans ces conditions, par rapport à des axes quelconques :

$|x - x_0| = \frac {H} {w} \operatorname{Argch} \frac {T} {H} \qquad \qquad \qquad y - y_0 = \frac {T} {w}$

Si l'allongement de la ligne ne peut être négligé, la longueur au repos $d l$ d'un petit élément devient sous tension, conformément à la loi de Hooke :

$ds = (1 + T/EA) dl\,$ (

E

: module d'Young,

A

: section de la ligne)

Les projections horizontale et verticale du petit élément étant modifiées dans les mêmes proportions, pour obtenir les équations paramétriques correspondantes, il faut différentier les deux équations précédentes, multiplier les résultats par le facteur d'accroissement et intégrer de nouveau. Chacune des deux équations contient alors un second membre corrigé par un terme inversement proportionnel à la rigidité $E A$ et la courbe résultante n'est plus une chaînette.

Calcul mécanique

La théorie de la chaînette décrit la courbe d'équilibre d'une ligne (chaîne ou câble) suspendue entre deux points, homogène, inextensible, sans rigidité en flexion, soumise à son seul poids. Cette dernière condition assure que toute la courbe est située dans un plan vertical, le système de coordonnées étant naturellement $x$ horizontal, $y$ vertical.

Élément de chaînette

Pour établir les conditions d'équilibre on raisonne comme en résistance des matériaux en coupant par la pensée la ligne en un point arbitraire et en faisant apparaître les forces de liaison. En l'absence de rigidité en flexion il n'y a ni effort tranchant ni moment fléchissant mais un seul effort axial $T$ nommé tension, $α$ étant l'angle de celle-ci avec l'horizontale. Ainsi la composante horizontale s'écrit $T cos α$ et la composante verticale $T sin α$ .

L'absence de rigidité en flexion crée par contre des grandes déformations qui conduisent à étudier l'équilibre d'un petit élément de longueur $d s$ . Il subit une force horizontale nulle et une force verticale égale à son poids $w d s$ (où $w$ est le poids par unité de longueur), ce qui conduit aux équations différentielles

$\mathrm d(T \cos \alpha) = 0 \qquad \mathrm d(T \sin \alpha) = w \mathrm ds\,$

L'intégration de la première équation donne $T \cos \alpha = H\,$ , la constante d'intégration étant la composante horizontale qui se transmet sans modification d'un bout à l'autre de la ligne.

La seconde donne $T \sin \alpha = w(s-s_0)\,$ . Ici, la constante d'intégration, dont la valeur dépend de l'origine des abscisses curvilignes, correspond au point le plus bas de la courbe où la force verticale change de signe.

En élevant au carré et en sommant on obtient la loi de variation de la tension en fonction de l'abscisse curviligne :

$T^2 = H^2 + w^2 (s-s_0)^2\,$

En divisant les deux équations de base on obtient la pente de la courbe :

$p = \tan \alpha = \frac {w} {H} (s-s_0)\,$

La dérivation par rapport à $x$ conduit à

$\frac {\mathrm dp} {\mathrm dx} = \frac {w} {H} \frac {\mathrm ds} {\mathrm dx} = \frac {w} {H} \sqrt{1+p^2}\,$

L'intégration donne $\operatorname {Argsh} p = \frac {w} {H} (x-x_0)$ . En inversant il vient :

$p = \operatorname {sh} \frac {w} {H} (x-x_0)\,$

Une nouvelle intégration donne l'équation de la chaînette :

$y - y_0 = \frac {H} {w} \operatorname {ch} \frac {w} {H} (x-x_0)\,$

De la pente on déduit également l'abscisse curviligne :

$s - s_0 = \frac {H} {w} \operatorname {sh} \frac {w} {H} (x-x_0)\,$

ainsi que la composante verticale de la tension :

$V = H \operatorname {sh} \frac {w} {H} (x-x_0)\,$

D'où la tension elle-même :

$T = H \operatorname {ch} \frac {w} {H} (x-x_0)\,$

Aspects pratiques

La solution du problème est simple si l'on se donne les caractéristiques de la ligne (longueur et poids linéaire) et la force appliquée à une extrémité pour calculer son extension (distances horizontale et verticale) et la force à l'autre extrémité. Les formules correspondantes définissent le module de base de tout calcul.
Si l'élasticité de la ligne ne peut plus être négligée, elle est prise en compte en appliquant la loi de Hooke, ce qui entraîne simplement une complication du calcul de l'extension dans le module de base.
Si les lignes sont constituées par une succession de segments de caractéristiques différentes, l'appel répété du module de base permet d'obtenir pour la ligne un résultat analogue à celui du segment en transmettant les forces d'un segment à un autre et en totalisant les extensions.
S'il existe un fond sur lequel repose une partie de la ligne, la force verticale appliquée à une extrémité permet de déterminer la longueur suspendue non déformée à ajouter à la longueur posée sur le fond.
Dans tous ces cas, il est donc possible d'obtenir pour la ligne un module qui transforme les caractéristiques de la ligne et la force à une extrémité en l'extension et la force à l'autre extrémité. Malheureusement, ces calculs relativement simples ne sont pas adaptés aux problèmes concrets dans lesquels on souhaite généralement calculer les forces aux deux extrémités en fonction des caractéristiques et de l'extension. Deux boucles de dichotomie, inconditionnellement convergentes, résolvent le problème.

Propriétés et applications

L'axe des ordonnées est axe de symétrie de la courbe. Pour l'axe des abscisses, on parle de base.
La chaînette est un cas particulier d'alysoïde et de courbe de Ribaucour.
La chaînette est presque verticale près des points de suspension, car c'est là que le poids le plus important tire le plus la chaîne vers le bas. En revanche, vers le bas de la courbe, l'inclinaison diminue peu à peu puisque la chaîne supporte de moins en moins de poids. C'est d'ailleurs une des différences entre la chaînette et la parabole : pour une longueur égale, la parabole est plus « pointue » dans sa partie inférieure. Plus généralement aucune courbe dont l'ordonnée est proportionnelle à une puissance de l'abscisse ne monte aussi vite qu'une chaînette.
La chaînette n'apparaît pas seulement dans la forme d'une chaîne ou d'un câble suspendu. On la trouve aussi :
- renversée, pour un arc tenant par son propre poids. Relèvent de cette technique les essais architecturaux de Gaudi, l'arche du Jefferson National Expansion Memorial à Saint Louis, et le hangar à dirigeables d'Écausseville. La voûte nubienne est aussi basée sur une forme de chaînette renversée.
- verticale, dans le profil d’une voile rectangulaire attachée à 2 barres horizontales, enflée par un vent soufflant perpendiculairement à ces barres, en négligeant le poids propre de la voile par rapport à la force du vent. C'est cette propriété qui justifie le nom de « vélaire » (voile) donné par Jacques Bernoulli.

Voir aussi

Pour le contexte historique voir Mathématiques en Europe au XVIIe siècle
Pour plus d'informations sur la fonction cosinus hyperbolique, voir l'article fonction hyperbolique.
Une corde soumise à une force peut prendre d'autres formes : voir la courbe de la corde à sauter, qui subit non seulement une force distribuée équitablement à son propre poids (qui lui donne la forme d'une chaînette quand elle n'est pas en rotation), mais aussi une force centrifuge plus importante au centre de la corde à sauter (en rotation) qu'à ses extrémités, ce qui déforme la chaînette au point de faire prendre à celle-ci une forme plus pointue voire à la limite triangulaire avec une vitesse de rotation tendant vers l’infini où les forces centrifuges rendent négligeable les forces liées au poids propre de la corde). Plus la corde tourne vite, plus elle se déforme et le différentiel de tension entre la partie supérieure et la partie inférieure de la corde augmente, ce différentiel étant maximum au milieu de la longueur de corde (qui sera donc le point de rupture de celle-ci si on la tourne trop vite).
Lorsqu’on écarte deux cercles initialement jointifs juste sortis d’une solution savonneuse, la surface tubulaire qui se crée entre ces deux profils a un profil de chaînette : il s’agit d’une caténoïde, dont l’axe central du tube a la forme d’une chaînette : la tension à la surface supérieure du tube caténoïde (exercée longitudinalement dans la direction de l’axe du tube) est inférieure à celle de la surface inférieure et explique pourquoi le tube d’eau se rompt toujours par le bas quand cette tension d'écartement devient supérieure à la tension de rapprochement exercée entre les molécules savonneuses.
Le caténoïde est pourtant la forme idéale à adopter pour une structure autoportée adoptant un profil de chaînette car il est possible de compenser les forces de compression exercées à la surface supérieure par une précompression de cette surface, et de compenser les forces d'écartement à la surface inférieure du tube en lui permettant une plus grande élasticité. Cette forme est donc adoptée pour les tubes d'arches porteuses.
Un pont non suspendu constitué d'une seule arche quasi plane et porté uniquement à ses deux extrémités, adopte naturellement une forme de chaînette s’il n'est soumis à aucune autre contrainte verticale ou horizontale que son propre poids ou si la charge qu'il supporte est distribuée équitablement le long de sa longueur. Il en est de même pour une charpente horizontale posée à cheval entre deux murs porteurs.
La contrainte la plus forte exercée sur une structure en chaînette est celle d'un poids maximum porté en son centre : c’est le cas de la corde à sauter en rotation, où la force centrifuge liée à sa rotation est maximale au centre de la corde (là où l’écartement par rapport à l’axe de rotation est maximum), ou si la corde supporte supporte un poids suspendu en son centre (comme sur une corde à linge si on ne fixe pas les vêtements portés sur le fil pour éviter qu'ils ne glissent tous vers le milieu de la corde).
D'autres systèmes existent dans la construction de ponts autoportés (construits comme une arche en chaînette renversée), leur permettant de résister à d’autres contraintes exercées soit horizontalement perpendiculairement aux arches ou câbles porteurs dans l’axe du pont (essentiellement par le vent) ou verticalement sur la surface du pont (soit par le vent soit par les véhicules qui y circulent : cette contrainte est plus facile à contrôler car elle a un effet identique à une variation de son poids propre et conduit à raccourcir la longueur de portée) ; ceci nécessite que les extrémités du pont puisse se déplacer horizontalement, afin d'éviter la rupture au centre du pont par augmentation de la tension longitudinale si on empêche ce déplacement longitudinal qui permet de conserver le profil idéal de chaînette), et peut être réalisé par des zones à chaque extrémité coulissant librement l'une dans l'autre dans l’axe du pont; la surveillance permanente de l'écartement ou du rapprochement de ces zones coulissantes permet de mesurer instantanément la tension longitudinale de la structure autoportée et donc de prévenir les ruptures (ou de fermer la circulation dès que des seuils de sécurité sont dépassés par exemple à cause de vents trop violents).
Le même système est employé pour les charpentes horizontales, légèrement plus longues que l'écartement des murs ou pylônes verticaux porteurs, et parfois portées par un bras rotatif articulé au sommet du pylône porteur permettant d'équilibrer l'écartement à chaque extrémité.

Liens externes

Sur le site Mathcurve.com
Le calcul détaillé
Texte de Leibniz sur la chaînette, en ligne et commenté sur le site [1].

Notes et références

↑ Galileo Galilei, Discorsi e Dimostrazioni matematiche intorno a due Nuove Scienze (1638), Le opere di Galileo Galilei : edizione nazionale sotto gli auspicii di sua maesta il re d'Italia. Vol. VIII, p.186. Traduction française de Maurice Clavelin : Galilée, Discours concernant deux sciences nouvelles, PUF (1995), p.120
↑ Huygens, Correspondance n°21, lettre à Mersenne, prop.8, (1646), Œuvres complètes de Christiaan Huygens, Société hollandaise des sciences, t. I, p.36
↑ Huygens, Correspondance n°2693, lettre à Leibniz, (1691), Œuvres complètes de Christiaan Huygens, Société hollandaise des sciences, t. X, p.133

v · courbes
Coniques (cercle, ellipse, parabole, hyperbole)
Cardioïde • Cissoïde • Clothoïde • Conchoïde • Cycloïde • Épicycloïde • Folium de Descartes • Hélice Hypocycloïde (astroïde, deltoïde) • Hypotrochoïde • Néphroïde • Spirale (d'Archimède, logarithmique) • Strophoïde
Lemniscates (lemniscate de Gerono, lemniscate de Booth, lemniscate de Bernoulli, courbe du diable)
Trajectoire • Ovale de Cassini • Chaînette • Courbe brachistochrone

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