Spirale logarithmique

Spirale logarithmique
Spirale logarithmique d'équation r = Φθ / π

La spirale logarithmique est la courbe d'équation polaire suivante :

r = abθ

La spirale ci-contre a pour équation polaire :

r=\Phi^{\frac{\theta}{\pi}}

où \Phi\, est le nombre d'or : \frac{1+\sqrt{5}}{2}.

Pour obtenir une spirale symétrique de la précédente par rapport à l'axe (Ox), il suffit de changer b en 1/b.

Sommaire

Fragments d'histoire

La spirale logarithmique porte aussi le nom de spirale équiangle, spirale de croissance

La spirale logarithmique a été étudiée par Descartes et Torricelli qui en a cherché la longueur. Mais celui qui lui a consacré un ouvrage est Jacques Bernoulli qui la nomme Spira mirabilis. Impressionné par ses propriétés d'invariance, il a demandé que soient gravées sur son tombeau à Bâle une spirale logarithmique ainsi que la maxime eadem mutata resurgo (je renais changé à l'identique). Le graveur, plus artiste que mathématicien, a hélas gravé une spirale d'Archimède. D'Arcy Thomson lui consacre un chapitre dans son traité, On Growth and Form (1917).

Le terme de spirale logarithmique lui est donné par Pierre Varignon.

On retrouve la spirale logarithmique dans la forme de certaines galaxies, dans le développement de certaines coquille de mollusque et dans l'agencement de certaines fleurs. La spirale logarithmique fut souvent utilisée par l'homme, notamment dans les constructions architecturales, tels certains clochers, jardins, paysages, allées de châteaux ou belvédères, dans lesquels la forme en ouverture confère à l'édifice une dimension d'infini.[réf. souhaitée]

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Invariance par similitude

Une rotation de la spirale autour de O d'un angle \theta_0\, équivaut à une homothétie de centre O et de rapport b^{-\theta_0}.

On peut donc remarquer que la spirale logarithmique est invariante par similitude d'angle \theta_0\, et de rapport b^{\theta_0}.

Spirale équiangle

Une spirale et trois tangentes

On remarque que la tangente à la courbe au point M fait avec la droite (OM) un angle constant α vérifiant la propriété suivante :

\tan(\alpha)=\frac{1}{\ln(b)}

où ln(b) représente le logarithme népérien de b.

Cette propriété est caractéristique des spirales logarithmiques qui sont de ce fait souvent appelées spirales équiangles.

Un calcul un peu analogue (cf l'article Longueur d'un arc) montre que la longueur de l'arc, entre l'origine et le point de paramétrage θ, est proportionnelle à r(θ). Le coefficient de proportionnalité est égal à la racine carrée de 1 + 1/(ln θ)2.

Rayon de courbure

On peut aussi démontrer que le rayon de courbure est directement proportionnel à r selon la loi suivante :

R=\frac{r}{\sin(\alpha)}

Il est alors facile de trouver le centre du cercle osculateur passant « au plus près » de la spirale au point M. Il suffit de tracer la perpendiculaire à la tangente en M ainsi que la perpendiculaire à (OM) passant par O. Les deux perpendiculaires se coupent en C, centre du cercle osculateur.

La spirale logarithmique de Newton

Ce type de spirale logarithmique possède des applications en dynamique.

Article détaillé : Spirale logarithmique de Newton.

Voir aussi

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v · courbes
Coniques (cercle, ellipse, parabole, hyperbole)
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Hypocycloïde (astroïde, deltoïde) • Hypotrochoïde • Néphroïde • Spirale (d'Archimède, logarithmique) • Strophoïde
Lemniscates (lemniscate de Gerono, lemniscate de Booth, lemniscate de Bernoulli, courbe du diable)
Trajectoire • Ovale de Cassini • Chaînette • Courbe brachistochrone


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