Hypotrochoide

Hypotrochoide

Hypotrochoïde

La courbe rouge est une hypotrochoïde dessiné grâce à un cercle noir roulant à l'intérieur d'un cercle bleu d'un diamètre plus important (les paramètres sont R = 5, r = 3 et d = 5)

En géométrie, les hypotrochoïdes sont des courbes planes décrites par un point lié à un cercle mobile (C) roulant sans glisser sur et intérieurement à un cercle de base (C0), le cercle roulant étant plus petit que le fixe. Ces courbes ont été étudiée par Albrecht Dürer en 1525, Ole Christensen Rømer en 1674 et Bernoulli en 1725 :

Le mot se compose des racines grecques hupo (au-dessous) et trokhos (la roue). Lorsque le cercle roule à l'extérieur, on a affaire à une épitrochoïde.

Paramétrage

On pose q = \dfrac{a}{b} (donc q > 1) et d = kb, avec a le rayon du cercle fixe, b celui du cercle roulant (mobile) et d la distance du point au centre du cercle mobile. Un paramétrage (donné en affixe) de l'hypotrochoïde est alors :

z = (ab)eit + de i(q − 1)t

soit

qz = a((q − 1)eit + ke i(q − 1)t)
q(x + iy) = a(q − 1)cos(t) + ia(q − 1)sin(t) + akcos((q − 1)t) − iaksin((q − 1)t)

Par identification des parties réelle et imaginaire on obtient :

qx = a(q − 1)cos(t) + kacos((q − 1)t));
qy = a(q − 1)sin(t) − kasin((q − 1)t));

avec q = \dfrac{a}{b} et k=\dfrac{d}{b}.

Si on pose a = R, b = r et t = θ, on obtient les formules ci-dessous:

x = (R - r)\cos\theta + d\cos\left({R - r \over r}\theta\right)
y = (R - r)\sin\theta - d\sin\left({R - r \over r}\theta\right)

le paramètre d'angle θ variant de 0 à 2π.

Les hypocycloïdes représentent le cas particulier d = r (le point fixe est sur le cercle) et les ellipses le cas R = 2r.


Voir aussi

  • Portail de la géométrie Portail de la géométrie
Ce document provient de « Hypotrocho%C3%AFde ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Hypotrochoide de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Hypotrochoide — Hypotrochoide, s. Kurven, cyklische …   Lexikon der gesamten Technik

  • Hypotrochoïde — La courbe rouge est une hypotrochoïde dessinée grâce à un cercle noir roulant à l intérieur d un cercle bleu d un diamètre plus important (les paramètres sont R = 5, r = 3 et d = 5) En géométrie, les hypotrochoïdes sont des courbes planes… …   Wikipédia en Français

  • Hypotrochoide — Hy|po|tro|cho|i|de* [...x...] die; , n <zu ↑hypo... u. ↑Trochoide> eine ↑Trochoide, bei der der rollende Kreis innerhalb des festen Kreises abrollt (Math.) …   Das große Fremdwörterbuch

  • Épitrochoïde — La courbe rouge est une épitrochoïde dessiné grâce à un cercle noir roulant sans glisser autour d un cercle bleu (les paramètres sont R = 3, r = 1 et d = 1/2) Une épitrochoïde est une courbe plane transcendante, correspondant à la trajectoire d… …   Wikipédia en Français

  • Hypocycloide — Hypocycloïde Construction d une hypocycloïde Une hypocycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle dit directeur et à l intérieur de celui ci. Il s agit donc d un… …   Wikipédia en Français

  • Hypocycloïde — Construction d une hypocycloïde Une hypocycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle dit directeur et à l intérieur de celui ci. Il s agit donc d un cas… …   Wikipédia en Français

  • Kurven — Kurven, krumme Linien, stetige Reihen von Punkten in der Ebene. Eine solche wird durch eine Gleichung zwischen zwei Veränderlichen f (x, y) = 0 oder homogen f (x, y, ω) = 0, aufgelöst y = φ (x) dargestellt. Je nach der Natur der… …   Lexikon der gesamten Technik

  • Topcat (Bootsklasse) — Klassenzeichen TOPCAT …   Deutsch Wikipedia

  • Arc caténaire — Chaînette Courbe de la chaînette pour a=2 En mathématiques, la chaînette est une courbe plane transcendante, qui correspond à la forme que prend un câble (ou une chaîne) lorsqu il est suspendu par ses extrémités et soumis à une force… …   Wikipédia en Français

  • Arc de cercle — Cercle Pour les articles homonymes, voir cercle (homonymie). Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui ci étant… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”