Hypocycloide

Hypocycloide

Hypocycloïde

Construction d'une hypocycloïde

Une hypocycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle dit directeur et à l'intérieur de celui-ci. Il s'agit donc d'un cas particulier de cycloïde à centre, qui est une catégorie de courbe cycloïdale.

Sommaire

Étymologie et histoire

Le mot est une extension de cycloïde, inventé en 1599 par Galilée, et a la même étymologie : il vient du grec hupo (sous), kuklos (cercle, roue) et eidos (forme, « semblable à »).

La courbe elle-même fut étudiée par Albrecht Durer en 1525, Rømer en 1674 (qui la baptisa) et Daniel Bernoulli en 1725.

Définition mathématique

Une hypocycloïde peut être définie par l'équation paramétrique suivante :

x(\theta) = (R-r) \cos \theta + r \cos (\frac{R-r}{r} \theta) \,
y(\theta) = (R-r) \sin \theta - r \sin (\frac{R-r}{r} \theta) \,

où R\, est le rayon du cercle de base et r\, celui du cercle roulant. Avec q={R \over r}, cette équation peut donc également s'écrire :

x(\theta) = r \left[(q-1) \cos \theta + \cos (q-1) \theta \right] \,
y(\theta) = r \left[(q-1) \sin \theta - \sin (q-1) \theta \right]\,

Propriétés

La courbe est formée d'arcs isométriques (appelés arches) séparés par des points de rebroussements. Si q est rationnel (et peut donc s'écrire q=a/b où a et b sont des entiers), a représente le nombre d'arches de la courbe. On peut aussi voir ces deux grandeurs de la manière suivante :

  • a représente le nombre de rotations du cercle roulant nécessaires pour ramener le point mobile à sa position de départ,
  • b représente le nombre de tours du cercle de base nécessaires au cercle roulant pour revenir au point de départ.

Les points de rebroussements sont obtenus pour \theta = \frac{2k \pi }{q}. La longueur d'une arche est de 8 \frac{q-1}{q^2}R.
Si q est entier, la longueur totale de la courbe vaut {4 \over \pi}(1+{1 \over q}) fois la longueur du cercle de base, et l'aire totale vaut (1-{1 \over q})(1-{2 \over q}) fois celle du cercle de base.

Le théorème de la double génération prouve qu'une hypocycloïde est aussi une péricycloïde, c'est-à-dire la courbe décrite par un point d'un cercle de rayon r+R roulant sans glisser sur ce cercle directeur en le contenant.

Les petites oscillations du pendule de Foucault forment également une hypocycloïde.

Voir aussi

  • Lorsque le point mobile n'est pas fixé sur le cercle roulant mais à l'extérieur ou à l'intérieur de celui-ci on parle alors d'hypotrochoïde, qui est un cas particulier de trochoïde. D'ailleurs, si vous avez cru reconnaître les dessins réalisés avec un spirographe dans les illustrations ci-dessus, vous ne vous êtes pas beaucoup trompé : cet appareil réalise des hypotrochoïdes et non des hypocycloïdes.
  • Lorsque le cercle mobile tourne à l'extérieur du cercle directeur, la courbe ainsi dessinée s'appelle alors épicycloïde.
  • Si R = 2r, l'hypocycloïde est un diamètre du cercle de base (voir le théorème de La Hire).
  • Si R = 3r, l'hypocycloïde est une deltoïde. On obtient une figure identique si R = 3/2 x r. Dans ce cas, il s'agit également de l'enveloppe du diamètre du cercle roulant.
  • Si R = 4r, l'hypocycloïde est une astroïde. On obtient une figure identique si R = 4/3 x r. Dans ce cas, il s'agit également de l'enveloppe du segment de longueur constante R dont les extrémités décrivent les axes d'un repère orthonormé.

Liens externes

Exemples de courbes
Coniques (cercle, ellipse, parabole, hyperbole)
Cardioïde • Cissoïde • Clothoïde • Cycloïde • Épicycloïde • Folium de Descartes • Hélice • Hypocycloïde (astroïde, deltoïde) • Hypotrochoïde • Spirale (d'Archimède, logarithmique)
Lemniscates (lemniscate de Gerono, lemniscate de Booth, lemniscate de Bernoulli, courbe du diable)
Trajectoire • Ovale de Cassini • Chaînette • Courbe brachistochrone
  • Portail de la géométrie Portail de la géométrie
Ce document provient de « Hypocyclo%C3%AFde ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Hypocycloide de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • hypocycloïde — [ iposiklɔid ] n. f. • 1863; de hypo et cycloïde ♦ Math. Courbe engendrée par un point d un cercle qui roule sans glisser à l intérieur d un cercle fixe. ⇒aussi cycloïde, épicycloïde. ● hypocycloïde nom féminin Courbe plane engendrée par un point …   Encyclopédie Universelle

  • Hypocycloïde — Construction d une hypocycloïde Une hypocycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle dit directeur et à l intérieur de celui ci. Il s agit donc d un cas… …   Wikipédia en Français

  • hypocycloïde — (i po si klo i d ) s. f. Terme de géométrie. Sorte de courbe transcendante. ÉTYMOLOGIE    Hypo...., et cycloïde …   Dictionnaire de la Langue Française d'Émile Littré

  • Astronomie arabe — Miniature ottomane de l étude de la lune et des étoiles XVIIe siècle Dans l’histoire de l astronomie, l’astronomie arabe renvoie aux découvertes astronomiques accomplies par la civilisation islamique, particulièrement au cours de l’Âge d or… …   Wikipédia en Français

  • épicycloïde — [ episiklɔid ] n. f. • 1687; de épicycle, d apr. cycloïde ♦ Géom. Courbe engendrée par un point d un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle (⇒ cycloïde). Adj. ÉPICYCLOÏDAL, ALE, AUX , (1741) . ● épicycloïde nom féminin Courbe plane… …   Encyclopédie Universelle

  • hipocicloidă — HIPOCICLOÍDĂ, hipocicloide, s.f. Curbă plană descrisă de un punct de pe circumferinţa unui cerc care se rostogoleşte, fără să alunece, pe un alt cerc fix, cercurile fiind interioare. – Din fr. hypocycloïde. Trimis de gall, 13.09.2007. Sursa: DEX… …   Dicționar Român

  • Astroide — Astroïde Une astroïde Une astroïde est une courbe plane, qui peut se définir de plusieurs façons. En particulier, il est possible de l obtenir en faisant rouler un cercle de rayon ¼ à l intérieur d un cercle de rayon 1. Pour cette raison, l… …   Wikipédia en Français

  • Astroïde — Une astroïde Une astroïde est une courbe plane, qui peut se définir de plusieurs façons. En particulier, il est possible de l obtenir en faisant rouler un cercle de rayon ¼ à l intérieur d un cercle de rayon 1. Pour cette raison, l astroïde est… …   Wikipédia en Français

  • Courbe Cycloïdale — Construction d une épicycloïde Une courbe cycloïdale est une courbe plane transcendante, trajectoire d un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur une courbe dite directrice. Il s agit donc d un cas particulier de roulette. Sommaire 1… …   Wikipédia en Français

  • Courbe cycloidale — Courbe cycloïdale Construction d une épicycloïde Une courbe cycloïdale est une courbe plane transcendante, trajectoire d un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur une courbe dite directrice. Il s agit donc d un cas particulier de… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”