Théorème de Taylor

Théorème de Taylor
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En analyse, le théorème de Taylor, du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1715[1], montre qu'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point peut être approximée par une fonction polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point.

De manière plus précise, soit :

Alors, pour tout x dans I, l’expression


  f(x) = f(a)
  + \frac{f'(a)}{1!}(x - a)
  + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2
  + \cdots
  + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n
  + R_n(x)

ou son équivalent

\displaystyle f(x) =T_n(x) + R_n(x)T_n(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k,

définit un reste \scriptstyle R_n(x) dont le comportement s’apparente au monôme (xa)n + 1.

En présentant cette formule, Taylor propose une méthode de développement en série[2], mais il se préoccupe peu de la nature du reste ; il faut attendre ses successeurs pour la caractériser rigoureusement. On désigne cependant par théorème de Taylor plusieurs résultats et expressions pour \scriptstyle R_n(x) découlant du cadre ci-dessus, parfois renforcé par quelques hypothèses supplémentaires.

La fonction exponentielle (en rouge) et le polynôme de Taylor d'ordre 4 au point 0 (en bleu)

Sommaire

Expressions caractérisant Rn(x)

Formule de Taylor-Young

La fonction ε(x) définie sur I − {a} par la relation

\varepsilon(x) = \frac{R_n(x)}{(x-a)^n}

satisfait \lim_{x\to a}\varepsilon (x)=0.

Remarque: Il peut être commode d'étendre la définition de la fonction ε par continuité en a en posant ε(a) = 0.

Formule de Taylor-Lagrange

Si la fonction f est à valeurs réelles et qu’elle est dérivable sur I jusqu’à l’ordre n + 1, alors il existe un nombre ξ strictement compris entre a et x tel que

R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}.

Cette relation s’appelle également forme de Lagrange.

La relation substitutive \xi=a+(x-a) \, \theta0 < θ < 1 présente l'avantage de ne pas dépendre du signe de (xa).

Inégalité de Taylor-Lagrange

S’il existe M tel que |f^{(n+1)}(y)| \leq M pour tout y dans I, alors

|R_n(x)| \leq \frac{M|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}.

C'est notamment le cas pour les fonctions de classe \mathcal{C}^{n+1} sur [a,x].

Formule de Taylor avec reste de Laplace (ou reste intégral)

Si la fonction f est continûment dérivable sur I jusqu’à l’ordre n + 1, alors

R_n(x) = \int_a^x \frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (x - t)^n \,\mathrm dt.

Remarques

  • L'inégalité de Taylor-Lagrange est une conséquence de la relation précédente.
  • Formule de Taylor-Maclaurin : lorsque a = 0, la formule s’écrit

  f(x) = f(0)
  + \frac{f'(0)}{1!}x
  + \frac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2
  + \cdots
  + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
  + R_n(x).
  • Pour certaines fonctions f, le reste Rn(x) tend vers zéro lorsque n tend vers l'infini ; ces fonctions peuvent ainsi être développées en série de Taylor dans un voisinage du point a. Si cette propriété se vérifie en tout point du domaine de définition, la fonction est dite analytique.
  • Contrairement à la formule de Taylor-Lagrange, le théorème de Taylor (avec reste de Laplace) se généralise aux fonctions f à valeurs complexes ou dans un espace vectoriel.

Preuves

Formule de Taylor pour les fonctions de plusieurs variables

Il existe des formules analogues pour des fonctions n fois différentiables en un point a d’un domaine \Omega \subset \R^{p} à valeurs dans \R (et même à valeurs dans \R^{q}). Cependant, les coefficients multinomiaux qui interviennent rendent l'expression assez lourde.

Considérons une boule ouverte B de \R^{p} (généralisation de l’intervalle I) centrée en a et f une fonction à valeurs réelles définie sur l'adhérence \bar{B}, possédant des dérivées partielles d'ordre n + 1 continues en chaque point. Alors, pour tout x\in B :

f(x)=\sum_{|\alpha|=0}^n\frac{1}{\alpha!}\frac{\partial^\alpha f(a)}{\partial x^\alpha}(x-a)^\alpha+\sum_{|\alpha|=n+1}R_{\alpha}(x)(x-a)^\alpha

où les sommes portent sur les multi-indices α (cette formule utilise les notations multi-indicées décrites dans l'article multi-indice), et où le reste vérifie l'inégalité

|R_{\alpha}(x)|\le\sup_{y\in\bar{B} }\left|\frac{1}{\alpha!}\frac{\partial^\alpha f(y)}{\partial x^\alpha}\right|

pour tous les α tels que |α| = n + 1.

En particulier, pour une fonction f deux fois différentiable en a\in\Omega\subset\R^2 à valeur dans \R, on peut écrire pour tout x\in\Omega :


f(x) = f(a)+\nabla f(a) \cdot (x-a)
+ \frac{1}{2}(x-a)^T \mathbb{H}(a) (x-a)+ o(||x-a||^{2}).

\nabla f est le gradient de f et \mathbb{H}(a) est sa matrice hessienne évaluée en a.

Exemple  :

Soit une fonction f deux fois différentiable en (a,b) à valeur dans \R, alors pour tout (x,y)\in\R^{2}

\begin{align}
f(x,y)\approx f(a,b) 
&+ \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) (x-a) 
+ \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) (y-b) 
+ \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b)(x-a)^2\\
&+ \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a,b)(y-b)^2 
+ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a,b)(x-a)(y-b)
\end{align}

Notes et références

Notes

  1. L'article consacré à Taylor précise que : « En fait, la première mention par Taylor de ce qui est appelé aujourd'hui théorème de Taylor apparaît dans une lettre que ce dernier écrivit à Machin le 26 juillet 1712. Dans cette lettre, Taylor explique clairement d'où lui est venue cette idée, c'est-à-dire d'un commentaire que fît Machin au Child's Coffeehouse, utilisant les « séries de Sir Isaac Newton » pour résoudre un problème de Kepler, et utilisant également « les méthodes de Dr. Halley pour extraire les racines » d'équations polynomiales. Il y a en fait deux versions du théorème de Taylor données sur le papier de 1715. Dans la première version, le théorème apparaît dans la Proposition 11 qui est une généralisation des méthodes de Halley d'approximation de racines de l'équation de Kepler, ce qui allait bientôt devenir une conséquence des séries de Bernoulli. C'est cette version qui a été inspirée par les conversations du Coffeehouse décrites précédemment. Dans la seconde version se trouve le Corollaire 2 de la Proposition 7 et qui est une méthode pour trouver davantage de solutions des équations fluxionales dans les séries infinies. Taylor était le premier à découvrir ce résultat ! »
  2. (en) Brook Taylor (trad. Ian Bruce), Methodus incrementorum directe et inversa, proposition VII, théorème III, Corollaire II, Londres, 1715, Lire en ligne

Sources

  • J. Lelong-Ferrand et J.-M. Arnaudiès, Cours de mathématiques (T2 : Analyse), Bordas, 1977
  • Claude Deschamps et André Warusfel, J'intègre : Mathématiques première année, Dunod, 1999

Voir aussi

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