Théorème de Glaeser

Théorème de Glaeser: Le théorème de Glaeser, en analyse mathématique, est une caractérisation de la continuité de la dérivée de la racine carrée des fonctions de classe $C 2$ . Il a été publié en 1963 par Georges Glaeser^[1], puis simplifié par Jean Dieudonné^[2].

Énoncé et démonstration

Théorème de Glaeser — Soit $f\ :\ U \rightarrow \R^{+}$ une fonction de classe $C 2$ sur un ouvert U de $\R^n$ . Alors $\sqrt{f}$ est de classe $C 1$ sur U si et seulement si ses dérivées première et seconde s'annulent aux zéros de f.

Démonstration du Théorème de Glaeser en une variable

1) Donnons d'abord une condition nécessaire et suffisante pour que $\sqrt{f}$ soit dérivable sur $\R$ : Si $\sqrt{f}$ est dérivable en $x 0$ , alors comme $\forall x \in \R\left( \sqrt{f(x)} \right)^{2} = f(x)\Longrightarrow 2\left( \sqrt{f} \right)'(x_{0})\left( \sqrt{f(x_{0})} \right)=f'(x_{0})$ .

Si $f(x_{0}) \neq 0$ , alors $\left( \sqrt{f} \right)' (x_{0}) = \frac{f'(x_0)}{2\sqrt{f(x_{0})}}$ , et si $f (x 0) = 0$ , alors $\sqrt{f}(x_0) = 0$ et $f'(x 0) = 0$ . Or, $f$ étant de classe $C 2$ , d'après le théorème de Taylor-Young (T.Y), $f(x) = \frac{f^{''}(x_{0})}{2} (x - x_{0})^{2} + o\left( (x-x_{0})^2 \right)$ , et donc $\forall x \in \R \backslash \{x_0\}$ , $\frac{f(x)}{(x-x_0)^2} = \frac{f''(x_0)}{2} + o(1) \Longleftrightarrow \left( \frac{\sqrt{f}(x)}{x-x_0} \right)^2 = \frac{f^{''}(x_0)}{2} + o(1)$ . D'où, comme $\lim_{x_0} \left( \frac{\sqrt{f}(x)}{x-x_0} \right)^2 = \frac{f^{''}(x_0)}{2}$ , on a $f^{''}(x_0) \ge 0$ , et dans ces conditions, $\frac{\sqrt{f}(x)}{|x-x_0|} = \sqrt{\frac{f^{''}(x_0)}{2} + o(1) }\ (*)$ , soit, en passant à la limite en $x_{0}^{-}$ et $x_{0}^{+}$ , $\sqrt{f}$ admet pour dérivées à gauche et à droite en $x 0$ , $\left( \sqrt{f} \right)'_g(x_0) = -\sqrt{\frac{f^{''}(x_0)}{2}}$ et $\left( \sqrt{f} \right)'_{d}(x_0) = \sqrt{\frac{f^{''}(x_0)}{2}}$ . Ainsi, si $\sqrt{f}$ est dérivable en $x 0$ , alors nécessairement $f''(x 0) = 0$ .

Réciproquement, si $\sqrt{f} \neq 0$ , alors par théorème de composition de fonctions dérivables, $\sqrt{f}$ est dérivable en $x 0$ , de dérivée $\frac{f'(x_0)}{2\sqrt{f(x_{0})}}$ . Si $f (x 0) = 0$ , alors il est nécessaire d'après ce qui précède, pour que $\sqrt{f}$ soit dérivable en $x 0$ , que $f'(x 0) = f''(x 0) = 0$ . Si on suppose donc $f (x 0) = f'(x 0) = f''(x 0) = 0$ , alors comme $f$ est $C 2$ d'après le théorème de T.Y, $f (x) = (x - x 0) 2 ε(x)$ , où $\lim_{x_0} \varepsilon (x) = 0$ et donc $\forall x \in \R\backslash \{x_0\}$ , $\frac{f(x)}{(x-x_0)^2} = \varepsilon (x) \ge 0$ , soit $\frac{\sqrt{f}(x)}{|x-x_0|} = \sqrt{\varepsilon (x)}$ , et $f (x)$ est dérivable en $x 0$ , car $\left( \sqrt{f} \right)'_{g}(x_0) = \left( \sqrt{f} \right)'_{d}(x_0) = 0$ .

En définitive, $\sqrt{f}$ est dérivable sur $\R$ si et seulement si $\forall x \in \R$ , ou bien $f(x) \neq 0$ et alors $\left( \sqrt{f} \right)^{'}(x) = \frac{f'(x)}{2 \sqrt{f(x)}}$ , ou bien $f (x) = f'(x) = f''(x) = 0$ , et dans ce cas, $\left( \sqrt{f} \right)'(x)=0$ .

2) Maintenant on suppose que $f (0) = f'(0) = f''(0) = 0$ . Soit $α > 0$ et $M(\alpha) = \sup_{t \in [-2\alpha ; 2\alpha]} {|f''(t)|}$ . Montrons que $\forall x \in [-\alpha ; \alpha]$ , on a $f'^{2} \le 2f(x) M(\alpha)$ :

On suppose que $M (α) > 0$ , quitte à prendre $\varepsilon > 0$ . $\forall (x,h) \in [-\alpha;\alpha]^2$ , alors $x+h \in [-2\alpha ; 2\alpha]$ , et d'après l'inégalité de Taylor-Lagrange sur $[x; x + h]$ , $|f(x+h)-\bigl( f(x) + hf'(x) \bigr)| \le \frac{h^2}{2!} \sup_{t \in [-2\alpha ; 2\alpha]} |f''(t)| \le \frac{h^2}{2} M(\alpha)$ , et donc $f(x+h) \le M(\alpha) \frac{h^2}{2} + hf'(x) + f(x) = P(h)$ . On en déduit donc que $P(h) \ge 0 , \forall h \in [-\alpha; \alpha]$ , et $\forall x$ fixé dans $[ - α;α]$ . Montrons que $P (h)$ , polynôme du second degré en $h$ , est en fait positif pour tout $h \in \R$ , et donc son discriminant $Δ$ est négatif ou nul, soit $f'^{2}(x) \le 2f(x)M(\alpha), \forall x \in [-\alpha; \alpha]$ , ce qui est l'inégalité demandée. Or, $\forall x \in [-\alpha;\alpha], |f''(x)| \le M(\alpha)$ , soit en appliquant l'inégalité des accroissements finis (I.A.F) à $f'$ sur $[0;x], |f'(x) - f'(0)| \le |x|M(\alpha) \le \alpha M(\alpha)$ , et donc $-\alpha M(\alpha) \le f'(x) \le \alpha M(\alpha)\ (**)$ . Si, par l'absurde, $Δ$ et $h 1, h 2$ sont les racines $P (h)$ , où $h 1 < h 2$ , alors $h_1 + h_2 = - \frac{2f'(x)}{M(\alpha)}$ et $h_{1}h_{2} = \frac{2f(x)}{M(\alpha)} \ge 0$ . On en déduit donc que $h 1$ et $h 2$ sont de même signe et, d'après $(**), -2\alpha \le h_{1} + h_{2} \le 2\alpha$ : on a donc, soit $0 \le h_1 + h_2 \le 2 \alpha$ , soit $-\alpha \le h_1 + h_2 \le 0$ et donc $0 \le h_1 \le \alpha$ , soit $-\alpha \le h_2 \le 0$ (par l'absurde). Ainsi, dans tous les cas, $]h_1;h_2[ \cap ]-\alpha;\alpha[ \neq \varnothing$ , et $\forall h \in ]h_1;h_2[ \cap ]-\alpha ; \alpha[ \subset ]-\alpha ; \alpha[, P(h) < 0$ ce est contradictoire.

3) On en déduit maintenant la condition nécessaire et suffisante du théorème de Glaeser. On sait que $\sqrt{f}$ est dérivable en $x 0$ si et seulement si $\forall x \in \R$ , ou bien $f(x_0) \neq 0$ ou bien $f (x 0) = f'(x 0) = f''(x 0) = 0$ . Quand $f(x_0) \neq 0$ , et donc $f(x) \neq 0$ dans un voisinage de $x 0$ par continuité, alors comme dans ce voisinage, $\left( \sqrt{f} \right)' (x) = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ , par les théorème généraux, $\left( \sqrt{f} \right)'$ est continue en $x 0$ . Quand $f (x 0) = f'(x 0) = f''(x 0) = 0$ , on se ramène en 0 par changement de variable. Ainsi, on pose $g (x) = f (x 0 + x)$ , et donc $g$ est $C 2, g (0) = g'(0) = g''(0) = 0$ et $\sqrt{g}$ est dérivable en $0$ de dérivée $\left( \sqrt{g} \right)'(0) = 0$ . Si $g (x) = 0$ dans ce voisinage de $0$ , alors $g'(x) = g''(x) = 0$ aussi, et donc $\left( \sqrt{g} \right)'(x) = (0)$ dans ce voisinage, soit $\left( \sqrt{g} \right)'$ est continue en $0$ , ie $\left( \sqrt{g} \right)'$ est continue en $x 0$ . Si l'on suppose que dans un voisinage $V$ de $0, \forall x \in V \backslash \{x_0\} = V^*, g(x)>0$ , alors d'après le point 2, pour tout $α > 0$ , et pour tout $x \in ]-\alpha ; \alpha[, g'^{2}(x) \le 2g(x) M(\alpha)$ , où $M(\alpha) = \sup_{t \in ]-\alpha ; \alpha[} |g''(t)|$ . Ainsi, $\forall x \in [-\alpha ; \alpha] \cap V^* , \frac{g'^{2}(x)}{g(x)} \le 2M(\alpha)$ , soit $|\left( \sqrt{g} \right)' (x)| \le \sqrt{\frac{M(\alpha)}{2}}$ . Or par continuité de $g''$ en $0$ , il est clair que $\lim_{\alpha \rightarrow 0} M(\alpha) = 0$ , d'où $\lim_{x \rightarrow 0} |(\sqrt{g})'(x)| = 0$ , et donc $(\sqrt{g})'$ est continue en $0$ , soit $\Big(\sqrt{f}\Big)'$ est continue en $x 0$ .

Références

↑ G. Glaeser, Racine carrée d'une fonction différentiable, Ann. Inst. Fourier 13, no 2 (1963), 203--210 : article

↑ J. Dieudonné, Sur un théorème de Glaeser, J. Analyse math. 23 (1970), 85--88 : Résumé Zbl, article p.85, article p.86, article p.87 (la p.88, non accessible gratuitement sur internet, ne contient que les deux dernières lignes de l'article et la référence à Glaeser)

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Glaeser de Wikipédia en français (auteurs)

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