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Formule du multinôme de Newton
En mathématiques, la formule du multinôme de Newton est une relation donnant le développement d'une puissance entière n d'une somme d'un nombre fini m de termes sous forme d'une somme de produits de puissances de ces termes affectés de coefficients. Nous avons pour tous entiers naturels m et n, et pour tous réels ou complexes ,
- .
La somme porte sur toutes les combinaisons d'indices entiers naturels tels que , certains d'entre eux pouvant être nuls.
Une écriture équivalente mais bien plus concise consiste à sommer sur tous les multi-indices de dimension m dont le module est égal à n :
Les nombres
sont appelés les coefficients multinomiaux.
La formule du binôme s'obtient comme cas particulier de la formule du multinôme, pour m = 2 ; et dans ce cas les coefficients multinomiaux sont les coefficients binomiaux.
Démonstration
Cette preuve utilise la formule du binôme. On fait une preuve par récurrence sur m.
(i) Pour m = 1, les deux côtés valent .
(ii) Supposons le théorème vrai au rang m. Alors
par hypothèse de récurrence. Puis en appliquant le binome de Newton au dernier facteur, il vient que,
ce qui termine la récurrence. Pour la dernière étape, on a utilisé le fait que
car
Exemples
Voyez également
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Catégorie : Analyse combinatoire
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