Regularite par morceaux

Regularite par morceaux: Régularité par morceaux

Certaines propriétés d'analyse sont énoncées avec des fonctions vérifiant des hypothèses telles que continu par morceaux, de classe $\mathcal C^k$ par morceaux, etc.

Régularité par morceaux sur un segment

Une fonction f est continue par morceaux sur le segment [a,b] quand il existe une subdivision $\sigma :\; a_0=a<a_1<\dots <a_n=b$ telle que les restrictions de f à chaque intervalle ouvert ]a_i,a_i+1[ admettent un prolongement continu à l'intervalle fermé [a_i,a_i+1].

Concrètement une telle fonction f est continue sur ]a_i,a_i+1[ et admet une limite finie à droite et à gauche en chaque a_i (lesquelles peuvent être distinctes et distinctes de la valeur de f au point a_i lui-même).

On définit de même les fonctions de classe $\mathcal C^k$ par morceaux, linéaires par morceaux, etc.

On notera qu'une fonction de classe $\mathcal C^1$ par morceaux, par exemple, n'est pas nécessairement continue en a_i, mais qu'elle admet des limites et dérivées à droite et à gauche en a_i.

Régularité par morceaux sur un intervalle

Une fonction est continue (ou autres propriétés) par morceaux sur l'intervalle I quand elle est continue (ou autre) par morceaux sur tout segment de I.

Domaines où l'on utilise la régularité par morceaux

Certaines théories simplifiées de l'intégration

Les séries de Fourier

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Catégorie : Analyse réelle

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