Théorie Dempster-Shafer

La Théorie Dempster-Shafer est une théorie mathématique basée sur la notion de preuves^[1] utilisant les fonctions de croyance et le raisonnement plausible. Le but de cette théorie est de permettre de combiner des preuves distinctes pour calculer la probabilité d'un évènement. Cette théorie a été développée par Arthur P. Dempster et Glenn Shafer.

Formalisme mathématique

Soit un univers, c'est-à-dire un ensemble contenant tous les éléments auquels on s'intéresse. L'ensemble de ses parties, , est l'ensemble de tous les sous-ensembles de , y compris l'ensemble vide . Par exemple, si:

alors

Les éléments de l'ensemble des parties de peuvent être interprétés comme des propositions, un élément représentant les états qu'il contient. Par exemple, on peut interpréter l'élément comme "la proposition a est vérifiée" ou "on est dans l'état a", ou encore comme "on est soit dans l'état a, soit dans l'état b".

Notion de masse

On définit la masse de la manière suivante :

• la masse de l'ensemble vide est 0 :

• la somme des masses des autres sous-ensembles vaut 1 :

La masse d'un élément donné de l'ensemble des parties exprime la proportion de toutes les preuves disponibles affirmant que l'état actuel est et pas un autre état ou un sous-état de . La valeur de concerne donc seulement l'état et n'apporte aucun crédit aux sous-ensembles de , chacun d'eux ayant, par définition, sa propre masse.

À partir de la valeur de la masse d'un état, on peut définir un intervalle de probabilité. Cet intervalle contient la valeur précise de la probabilité de l'état, et est borné par deux mesures appelées croyance et plausibilité:

La croyance d'un ensemble est définie comme la somme des masses de tous ses sous-ensembles (pas nécessairement propres) :

La plausibilité est définie comme la somme des masses de tous les ensembles qui intersectent :

Ces deux mesures sont liées :

De ce fait, la connaissance d'une seule de ces valeurs (masse, croyance ou plausabilité) suffit à déduire les deux autres.

Combinaison de preuves et de masses

Le problème qui se pose maintenant est de savoir comment combiner deux ensembles indépendants et leurs masses. La règle de combinaison originale, connue en tant que Règle de combinaison de Dempster, est une généralisation du théorème de Bayes. Ce théorème met clairement en valeur l'accord entre des sources multiples et ignore les conflits grâce à un facteur de normalisation. L'utilisation de ce théorème pose ainsi problème lorsque des conflits significatifs ont lieu entre différentes sources d'information.

Ici, la combinaison ou masse jointe est calculée à partir des deux masses et de la manière suivante :

où

est une mesure du niveau de conflit entre les deux masses. Le facteur de normalisation permet d'ignorer ces conflits et d'attribuer toute masse impliquée dans le conflit à l'ensemble nul. De ce fait, cette opération donne des résultats contre-intuitifs face à des conflits significatifs, dans certains contextes

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes

• Théorie de l'information
• Théorie des probabilités
• Théorie de la décision
• Théorème de Bayes et Inférence bayésienne
• Réseau bayésien
• Modèle des Croyances Transférables (MCT)

Liens externes

• (en) What is Dempster-Shafer's model?, Philippe SMETS1, IRIDIA, Université Libre de Bruxelles [PDF]

• Portail des probabilités et des statistiques