Metrique riemannienne

Metrique riemannienne

Métrique riemannienne

Les métriques riemanniennes sont les objets d'étude de la géométrie riemannienne. La première introduction a été donnée par Riemann en 1854. Cependant, son article sur le sujet a été publié après sa mort, en 1868. La même année, Helmholtz publie des résultats analogues.

Les métriques riemanniennes sont des collections différentiables de formes quadratiques définies positives :

  • Sur un fibré vectoriel E\rightarrow M, une métrique riemannienne g = gx est la donnée d'un produit scalaire gx sur la fibre Ex qui dépende de manière lisse du point de base x\in M. Plus formellement, x\mapsto g_x est une section en tout point définie positive du fibré vectoriel des formes bilinéaires symétriques S^2E\rightarrow M. On dit que la donnée (E,g) est un fibré riemannien.
Pour deux fibrés riemanniens (E,g) et (F,g'), un morphisme de fibrés riemanniens f:(E,g)\rightarrow (F,g') est un morphisme de fibré f:E\rightarrow F tel que, pour tout x\in M, l'application linéaire f_x:E_x\rightarrow F_x est une isométrie linéaire, id est :
\forall v,w\in E_x, g'_x(f_x(v),f_x(w))=g_x(v,w)
  • Si M est une variété différentielle (de dimension n), une métrique riemannienne sur M est simplement une métrique riemannienne g sur le fibré tangent TM\rightarrow M. La donnée (M,g) est une variété riemannienne.
Etant données deux variétés riemanniennes (M,g) et (N,g'), une isométrie F:(M,g)\rightarrow (N,g') est une application différentiable F:M\rightarrow N telle que l'application tangente dF:(TM,g)\rightarrow (TN,g') est un morphisme de fibrés riemanniens. Cette derniere condition se reecrit :
F * g = g

Exemples

  • Tout produit scalaire < , > sur Rn induit sur tout fibré vectoriel trivial M\times R^n\rightarrow M une métrique riemannienne :
gx((x,v),(x,w)) = < x,w >
  • Soit g une métrique riemannienne sur E\rightarrow M. Pour une fonction différentiable \psi:P\rightarrow M, il existe sur le fibré vectoriel tiré en arrière \psi^*E\rightarrow P une unique métrique riemannienne ψ * g telle que le morphisme naturel \psi^*E\rightarrow E soit un isomorphisme de fibrés riemanniens.
  • Si g est une métrique riemannienne sur E\rightarrow M, alors, par restriction, g définit une métrique riemannienne sur tout sous-fibré vectoriel F\subset E.

Existence

Sur tout fibré vectoriel \pi:E\rightarrow M, il existe une métrique riemannienne.


Démonstrations
  • Preuve via une partition de l'unité.

Pour tout ouvert U suffisamment petit de M, le fibré vectoriel \pi^{-1}(U)\rightarrow U est trivialisable. Or, par ci-dessus, tout fibré vectoriel trivialisable admet une métrique riemannienne. Donc, il existe une métrique riemannienne gU sur π − 1(U).

En utilisant la paracompacité de M, il existe un recouvrement (strictement) dénombrable (U_n)_{n\in N} de M tel que, pour tout n\in N, il existe une métrique riemannienne gn sur le fibré vectoriel \pi^{-1}(U_n)\rightarrow U_n. Soit (\phi_n)_{n\in N} une partition de l'unité subordonnée à (U_n)_{n\in N}. L'application x\mapsto \phi_n(x)g_n(x) est une section globale de S^2\pi^{-1}(U_n)\rightarrow U_n nulle au voisinage de la frontière \partial U_n. Elle se prolonge par 0 en une section globale de S^2E\rightarrow M, abusivement notée x\mapsto \phi_n(x)g_n(x).

On pose alors :

g=\sum_{n\in N} \phi_ng_n:x\mapsto \sum_{n\in N}\phi_n(x)g_n(x)

C'est une section de S^2E\rightarrow M, et elle bien définie positive en tout point : si x\in M appartient à l'intérieur du support de φn, et pour tout vecteur v\in E_x,

v\neq 0\Rightarrow g(v,v)\geq \phi_n(x)g^n_x(v,v)>0
  • Preuve via un plongement.

Il existe un fibré vectoriel F\rightarrow M tel que E\oplus F\rightarrow M soit trivialisable. On utilise à ce niveau la paracompacité de M. Il existe donc une métrique riemannienne sur E\oplus F\rightarrow M qui se restreint en une métrique riemannienne sur E\rightarrow M.

Attention : bien que plus court en apparence, ce second argument dissimule la difficulté dans l'existence de F. Cette existence fait aussi appel à un argument de partition de l'unité (!!!).

Sur toute variété différentielle M, il existe une métrique riemannienne.

Voir aussi

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