Tenseur antisymétrique

Tenseur antisymétrique

En mathématiques et physique théorique, un tenseur est antisymétrique pour les indices i et j si son signe est interchangé lorsque on inverse 2 indices :

T_{ijk\dots} = -T_{jik\dots}

Un tenseur antisymétrique est un tenseur possédant 2 indices pour lesquels il est antisymétrique. Si un tenseur change de signe dès que 2 indices quelconques sont inversés, alors ce tenseur est dit complètement antisymétrique et est aussi nommé forme différentielle.

Un tenseur A qui est antisymétrique pour les indices i et j possède la propriété que sa contraction avec un tenseur B, antisymétrique pour les indices i et j, est identiquement nulle.

Pour un tenseur quelconque U avec comme composants U_{ijk\dots} avec une paire d'indice i et j, U possède une partie symétrique et antisymétrique définies par :

U_{(ij)k\dots}=\frac{1}{2}(U_{ijk\dots}+U_{jik\dots}) (partie symétrique)
U_{[ij]k\dots}=\frac{1}{2}(U_{ijk\dots}-U_{jik\dots}) (partie antisymétrique)

Des conditions similaires peuvent être données pour d'autres paires d'indices. Le terme « partie » suggère qu'un tenseur est la somme de ses parties symétrique et antisymétrique pour une paire d'indices donnée, comme dans U_{ijk\dots}=U_{(ij)k\dots}+U_{[ij]k\dots}

Un tenseur antisymétrique particulièrement important est physique est le tenseur de Faraday F en électromagnétisme.

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