Tenseur de killing-yano

Tenseur de killing-yano

Tenseur de Killing-Yano

En géométrie riemannienne, un tenseur de Killing-Yano est une généralisation du concept de vecteur de Killing à un tenseur de dimension supérieure. Ils ont été introduits en 1952 par Kentarô Yano[1]. Un tenseur antisymétrique d'ordre p f_{a_1 a_2 ... a_p} est dit de Killing-Yano lorsqu'il vérifie l'équation

D_b f_{c a_2 ... a_p} + D_c f_{b a_2 ... a_p} = 0\,.

Cette équation diffère de la généralisation usuelle du concept de vecteur de Killing à des tenseurs d'ordre plus élevé, appelés tenseurs de Killing par ce que la dérivée covariante D est symétrisée avec un seul indice du tenseur et non la totalité de ceux-ci, comme c'est le cas pour les tenseurs de Killing.

Sommaire

Tenseurs de Killing-Yano triviaux

Tout vecteur de Killing est un tenseur de Killing d'ordre 1 et un tenseur de Killing-Yano.

Le tenseur complètement antisymétrique (dit de Levi-Civita) \epsilon_{a_1 a_2 ... a_n}, où n est la dimension de la variété est un tenseur de Killing-Yano, sa dérivée covariante étant toujours nulle (voir Nullité de la dérivée covariante du tenseur dualiseur).

Construction de tenseurs de Killing à partir de tenseurs de Killing-Yano

Il existe plusieurs façons de construire des tenseurs de Killing (symétriques) à partir de tenseurs de Killing-Yano.

Tout d'abord, deux tenseurs de Killing triviaux peuvent être obtenus à partir de tenseurs de Killing-Yano :

  • À partir d'un tenseur de Killing-Yano d'ordre 1 ξa, on peut construire un tenseur de Killing Kab d'ordre de 2 selon
Kab = ξaξb.
  • À partir du tenseur complètement antisymétrique \epsilon_{a_1 a_2 ... a_n}, on peut construire le tenseur de Killing trivial
K_{ab} = \epsilon_{b a_2 ... a_n} \epsilon^{a_2 ... a_n c} g_{ca} = - 6 g_{ab}.

De façon plus intéressante, à partir de deux tenseurs de Killing-Yano d'ordre 2 Aab et Bab, on peut construire le tenseur de Killing d'ordre 2 Kab selon

K_{ab} = g^{cd} \left(A_{ac} B_{db} + B_{ac} A_{db} \right).

À partir d'un tenseur de Killing-Yano d'ordre n-1, A_{a_2 ... a_n}, on peut construire le vecteur associé au sens de Hodge (voir Dualité de Hodge),

A^a = \epsilon^{a a_2 ... a_n} A_{a_2 ... a_n}.

Du fait que le tenseur A_{a_2 ... a_n} est de Killing-Yano, le vecteur A n'est pas de Killing-Yano, mais obéit à l'équation

D_a A_b = \frac{1}{n} g_{ab} D_c A^c.

Cette propriété permet de construit un tenseur de Killing Kab à partir de deux tels vecteurs, défini par :

Kab = AaBb + AbBa − 2AcBcgab.

Toute combinaison linéraire de tenseurs de Killing-Yano est également un tenseur de Killing-Yano.

Propriétés

Un certain nombre de propriétés des espaces-temps quadridimensionnels impliquant les tenseurs de Killing-Yano ont été exhibées par C. D. Collinson et H. Stephani dans le courant des années 1970[2],[3],[4].

  • Si un espace-temps admet un tenseur de Killing-Yano non dégénéré, alors celui-ci peut s'écrire sous la forme
A_{ab} = X (l_a k_b - k_a l_b) + i Y (m_a \bar m_b - \bar m_a m_b),
k, l, m et \bar m forment une tétrade et les fonctions X et Y obéisent à un certain nombre d'équations différentielles. De plus, le tenseur de Killing-Yano obéit à la relation suivante avec le tenseur de Ricci[3],[4] :
R_a^c A_{cb} + R_b^c A_{ca} = 0.
  • Les solutions aux équations d'Einstein dans le vide et de type D dans la classification de Petrov admettent un tenseur de Killing et un tenseur de Killing-Yano, tous deux d'ordre 2 et reliés par la formule donnée ci-dessus[3],[4].
  • Si un espace-temps admet un tenseur de Killing-Yano d'ordre 2 dégénéré Aab, alors celui-ci s'écrit sous la forme
Aab = kapbpakb,
k étant un vecteur de Killing de genre lumière. Le tenseur de Weyl est dans ce cas de type N dans la classification de Petrov, et k est son vecteur propre non trivial. De plus, a possède la relation donnée ci-dessus avec le tenseur de Riemann[2],[4]
  • Si un espace-temps admet un tenseur de Killing-Yano d'ordre 3, alors soit le vecteur associé par dualité de Hodge est un vecteur de genre lumière constant, soit l'espace est conformément plat[2],[4].

Voir aussi

Référence

Note

  1. (en) Kentarô Yano, Annals of Mathematics, 55, 328 (1952).
  2. a , b  et c (en) C. D. Collinson, The existence of Killing tensors in empty spacetimes, Tensors, 28, 173 (1974).
  3. a , b  et c (en) C. D. Collinson, On the relationship between Killing tensors and Killing-Yano tensors, International Journal of Theoretical Physics, 15, 311 (1976).
  4. a , b , c , d  et e (en) H. Stephani, A note on Killing tensors, General Relativity and Gravitation, 9, 789 (1978).
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