Equation polaire

Équation polaire

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O,i,j). Si $f\,$ est une fonction de $\mathbb{R}$ dans $[0 ; + \infty[ \,$ , on peut considérer l'ensemble des points M dont les coordonnées polaires $(\rho, \theta)\,$ vérifient l'équation suivante

$\rho = f(\theta) \,$

On dit que la courbe en question a pour équation polaire :

$\rho = f(\theta) \,$

rem: si $\rho = 0 \,$ , on placera alors le point M à l'origine du repère bien qu'en toute théorie, on ne puisse plus définir l'angle $(\vec{i},\vec{OM})$ .

Si une courbe possède une équation polaire et si l'intervalle $[\theta_1;\theta_2]\,$ est inclus dans le domaine de domaine de définition, la restriction de la courbe à cet intervalle peut être parcourue en tournant dans le sens trigonométrique de l'angle $\theta_1 \,$ à l'angle $\theta_2 \,$ .

Base mobile

On introduit pour chaque valeur de θ une base orthonormale directe (u(θ),v(θ)), obtenue par rotation de θ à partir de la base (i,j). Ainsi

$\vec u(\theta)=\begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix} \qquad \vec v(\theta)=\begin{pmatrix} -\sin \theta \\ \cos \theta \end{pmatrix}=\vec u(\theta+\frac\pi 2)$

On s'efforcera d'exprimer toutes les notions géométriques à l'aide de cette base. Cependant comme ces deux vecteurs dépendent de θ, il ne faut pas oublier de les dériver eux aussi.

$\frac{d\vec u}{d\theta}=\vec v \qquad \frac{d\vec v}{d\theta}=-\vec u$

Remarque : dériver ces vecteurs revient à leur faire subir une rotation de π/2.

Vecteur position

Par définition même des coordonnées polaires, $\vec{u}$ est un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que $\vec{OM}$ et ainsi

$\vec{OM}=f(\theta)\vec u$

Couplée avec les formules de dérivation des vecteurs u et v ci dessus, cette formule permet de calculer tous les objets de géométrie différentielle usuels.

Tangente à la courbe

Si $f\,$ est une fonction dérivable alors

$\frac{d\vec{OM}}{d\theta} = f'(\theta)\vec{u}(\theta) + f(\theta)\vec{v}(\theta)$

Ce vecteur est un vecteur directeur de la tangente (T) à la courbe au point associé à $θ$ . En toute rigueur il y a un cas particulier, qui est traité dans l'article tangente.

Si $α$ est l'angle que forme (T) et (OM), on obtient alors la relation suivante :

$\tan(\alpha)= |\frac{f(\theta)}{f'(\theta)}|$ si $f'(\theta) \,$ est non nul

$\alpha = \frac{\pi}{2}$ sinon

Abscisse curviligne

Si l'origine est prise en $\theta_0 \,$ alors l'abscisse curviligne, c’est-à-dire la longueur algébrique de la courbe entre le point $M(\theta_0)\,$ et $M(\theta_1)\,$ est :

$\int_{\theta_0}^{\theta_1}\sqrt{f'^2(\theta)+f^2(\theta)}d\theta$

Rayon de courbure

Le rayon de courbure est le rayon du cercle tangent à (T) et qui approche « au mieux » la courbe.

Si la fonction $f \,$ est deux fois dérivable, et si $2f'^2(\theta) + f^2(\theta)-f(\theta)f''(\theta) \,$ est non nul, le rayon de courbure est :

$\frac{(f'^2(\theta) + f^2(\theta))^{3/2}}{2f'^2(\theta) + f^2(\theta)-f(\theta)f''(\theta)}$

Branches infinies

Pour étudier les branches infinies on revient en coordonnées cartésiennes.

Équations polaires paramétriques

Si la courbe est donnée par une équation polaire paramétrique r(t),θ(t), les vecteurs vitesse et accélération peuvent être calculés dans la base mobile. On note par un point la dérivation par rapport au paramètre t

$\vec V = \dot{r} \vec u+ r\dot{\theta}\vec v$

$\vec A = ( \ddot{r} -r \dot{\theta}^2)\vec u+ ( r \ddot{\theta} +2\dot{r}\dot{\theta}) \vec v$

Voir aussi

Portail de la géométrie

Ce document provient de « %C3%89quation polaire ».

Catégorie : Courbe

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Equation polaire de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

Équation polaire — ● Équation polaire relation entre les coordonnées polaires des points d un sous ensemble F d un plan affine, qui caractérise F … Encyclopédie Universelle
Équation polaire — Le plan est muni d un repère orthonormal (O,i,j). Si est une fonction de dans , on peut considérer l ensemble des points M dont les coordonnées polaires vérifient l équation suivante On dit que la courbe en question a pour équation polaire … Wikipédia en Français
équation polaire — polinė lygtis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. polar equation vok. Polargleichung, f rus. полярное уравнение, n pranc. équation polaire, f … Fizikos terminų žodynas
Polaire reciproque — Polaire réciproque Reste à faire : une ou plusieurs applications simples de la polaire réciproque. Sommaire 1 Points cocycliques, quadrilatère inscrit 1.1 Preuve géométrique 1.2 Preuve analytique 2 … Wikipédia en Français
Polaire réciproque — Reste à faire : une ou plusieurs applications simples de la polaire réciproque. Sommaire 1 Points cocycliques, quadrilatère inscrit 1.1 Preuve géométrique 1.2 Preuve analytique 2 … Wikipédia en Français
équation — [ ekwasjɔ̃ ] n. f. • 1613; h. XIIIe « égalité »; lat. æquatio 1 ♦ (1637) Math. Relation conditionnelle existant entre deux quantités et dépendant de certaines variables (ou inconnues). Poser une équation. Mettre en équation un phénomène complexe … Encyclopédie Universelle
Équation d'un cercle — Cercle Pour les articles homonymes, voir cercle (homonymie). Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui ci étant… … Wikipédia en Français
Angle polaire — Coordonnées polaires Un cercle découpé en angles mesurés en degré Les coordonnées polaires sont, en mathématiques, un système de coordonnées à deux dimensions, dans lequel chaque point du plan est entièrement déterminé par un angle et une… … Wikipédia en Français
polar equation — polinė lygtis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. polar equation vok. Polargleichung, f rus. полярное уравнение, n pranc. équation polaire, f … Fizikos terminų žodynas
Orbite polaire — Animation montrant une orbite polaire Un satellite en orbite polaire survole les pôles d une planète (ou d un autre corps céleste) à chaque révolution. Il tourne autour d un astre avec une inclinaison élevée – proche de 90 degrés – ce qui le rend … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Equation polaire

Équation polaire

Sommaire