Limites inférieure et supérieure

Limites inférieure et supérieure
Exemple de recherche de limites inférieure et supérieure. La suite xn est représentée en bleu.

En analyse réelle, les limites inférieures et supérieures sont des outils d'étude des suites de nombres réels. Une telle suite n'est en général ni monotone, ni convergente. L'introduction des limites supérieure et inférieure permet de retrouver, partiellement, de telles propriétés. Il s'agit d'un cas particulier de valeurs d'adhérence de la suite.

Sommaire

Définitions

Si (u_n)_{n\ge 0} est une suite bornée de réels, les suites définies par

v_n=\sup\{u_k, k\ge n\}\, et w_n=\inf\{u_k, k\ge n\}\,

sont respectivement décroissante et croissante. De plus, pour tout n,

w_n\le u_n\le v_n\,.

Ce sont donc des suites convergentes, d'après le théorème de la limite monotone. On pose

\limsup_{n\rightarrow +\infty} u_n=\lim_{n\rightarrow +\infty} v_n et \liminf_{n\rightarrow +\infty} u_n=\lim_{n\rightarrow +\infty} w_n,

ou, ce qui est équivalent :

\limsup_{n\rightarrow +\infty} u_n=\inf(v_n)_{n\ge 0} et \liminf_{n\rightarrow +\infty} u_n=\sup(w_n)_{n\ge 0}.

Ces nombres sont appelés limite supérieure et limite inférieure de la suite (u_n)_{n\ge 0}.

Cette définition s'étend aux suites non nécessairement bornées, en posant

\limsup_{n\rightarrow +\infty} u_n=\infty si la suite n'est pas majorée,

et

\liminf_{n\rightarrow +\infty} u_n=-\infty si la suite n'est pas minorée.

Exemples

  • La limite inférieure d'une suite est toujours inférieure ou égale à la limite supérieure. Il y a égalité si et seulement si la suite admet une limite (finie ou infinie), et la limite est alors cette valeur commune.
  • \limsup_{n\rightarrow +\infty}(-1)^n=1,\ \liminf_{n\rightarrow +\infty}(-1)^n=-1
  • \limsup_{n\rightarrow +\infty}\sin n=1,\ \liminf_{n\rightarrow +\infty}\sin n =-1

Propriétés

  • liminf( − un) = − limsup un.
  • Posons pour alléger les notations L=\limsup_{n\rightarrow +\infty} u_n, l=\liminf_{n\rightarrow +\infty} u_n

Soit \varepsilon>0\, fixé. Alors

  • il n'y a qu'un nombre fini de k\, tels que u_k> L +\varepsilon\,.

En effet, la convergence vers L\, de la suite (v_n)_{n\ge 0} montre que L\le v_n\le L+\varepsilon \, pour n\, assez grand. Fixons un tel n\,. Pour n\le k\,, u_k\le v_n\le L+\varepsilon\,, donc si u_k>L+\varepsilon\,, nécessairement k<n\,

  • il y a une infinité de k\, tels que u_k> L -\varepsilon\,.

En effet, pour tout n\, , L-\varepsilon <v_n\,. D'après la définition même de la borne supérieure (plus petit des majorants), il existe k\ge n\, tel que L − ε < uk.

La limite inférieure vérifie des propriétés analogues.

Autrement dit, L\, et l\, sont respectivement la plus grande et la plus petite des valeurs d'adhérence de la suite (u_n)_{n\ge 0}. Notons au passage que l'existence de \limsup\, et \liminf\, pour une suite bornée fournit une preuve du théorème de Bolzano-Weierstrass.

Application : formule de Hadamard

La formule de Hadamard donne l'expression du rayon de convergence \scriptstyle \ R\ d'une série entière \scriptstyle \ \sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n\ en termes d'une limite supérieure :

\frac1R = \limsup_{n\to\infty} \left(|a_n|^{1/n}\right).

Cette formule découle de l'application de la règle de Cauchy.

Généralisations

On peut généraliser la notion de suite numérique et de ses limites supérieure et inférieure dans deux directions : en modifiant l'ensemble {}^\R dans lequel la suite prend ses valeurs ou l'ensemble {}^\N des indices.

Suites dans un treillis complet

La définition des limites supérieure et inférieure pour une suite numérique correspond à la relation d'ordre sur la droite réelle achevée, mais s'applique encore pour une suite à valeurs dans n'importe quel treillis complet, c'est-à-dire n'importe quel ensemble ordonné où toute partie possède une borne supérieure et une borne inférieure :

\limsup u_n=\inf_n\left(\sup_{k\ge n} u_k\right)\qquad\text{et}\qquad\liminf u_n=\sup_n\left(\inf_{k\ge n} u_k\right).

En particulier dans le treillis de l'ensemble des parties d'un ensemble (ordonné par l'inclusion), \scriptstyle\ \limsup\ et \scriptstyle\ \liminf\ sont définies pour une suite \scriptstyle\ (A_n)_{n\ge 0}\ de parties par :

\limsup A_n=\cap_n\left(\cup_{k\ge n}A_k\right)\qquad\text{et}\qquad\liminf A_n=\cup_n\left(\cap_{k\ge n} A_k\right).

On peut remarquer que la fonction indicatrice de la limite supérieure de la suite (An) est égale à la limite supérieure de la suite des fonctions indicatrices des An, et de même pour les limites inférieures.

\scriptstyle\ \limsup A_n\ est l'ensemble des \scriptstyle\ x\in E\ qui appartiennent à \scriptstyle\ A_n\ pour une infinité d'indices \scriptstyle\ n\ , et \scriptstyle\ \liminf A_n\ est l'ensemble des \scriptstyle\ x\in E\ qui appartiennent à tous les \scriptstyle\ A_n\ à partir d'un certain rang. Ces notions jouent un rôle important en calcul des probabilités, dans la démonstration de la loi forte des grands nombres. Voir par exemple le lemme de Borel-Cantelli.

Suites généralisées

La définition des limites supérieure et inférieure d'une suite (à valeurs dans ℝ) s'étend telle quelle à une suite généralisée, c'est-à-dire à une famille (ui)i∊I d'éléments de ℝ indexée par un ensemble ordonné filtrant I qui n'est plus nécessairement l'ensemble des entiers naturels :

\limsup u_i=\inf_{i\in I}\left(\sup_{k\ge i} u_k\right)\qquad\text{et}\qquad\liminf u_i=\sup_{i\in I}\left(\inf_{k\ge i} u_k\right).

Plus généralement, si X est un ensemble muni d'un filtre ℱ, les limites supérieure et inférieure suivant ce filtre[1] d'une fonction f de X dans ℝ sont définies par :

\limsup_{\mathcal F} f=\inf_{V\in\mathcal F}\left(\sup_{x\in V} f(x)\right)\qquad\text{et}\qquad\liminf_{\mathcal F} f=\sup_{V\in\mathcal F}\left(\inf_{x\in V} f(x)\right)

et l'on peut, dans les seconds membres, remplacer le filtre ℱ par l'une quelconque de ses bases.

En particulier, si \scriptstyle\ f:X\to\R \ est une fonction numérique définie sur un espace topologique, on peut définir \scriptstyle\ \limsup_{x\to a}f(x)\ . Cela permet par exemple de définir les nombres dérivés[2] d'une fonction \scriptstyle\ f:\R\to\R\ . Ce sont les nombres

\begin{align} \limsup_{h\to0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}h,&\qquad \liminf_{h\to0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}h, \\ \limsup_{h\to0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}h,&\qquad \liminf_{h\to0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}h. \end{align}

(attention : comme ci-dessus, ces limites peuvent valoir \scriptstyle\ \pm \infty).

Notes et références

  1. ↑ N. Bourbaki, Éléments de mathématique, p. TG IV.23 
  2. ↑ Henri-Léon Lebesgue, Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, AMS (réimpr. 2003), 3e éd. (ISBN 978-0-82183498-5), p. 71 

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Limites inférieure et supérieure de Wikipédia en français (auteurs)

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